微分上同调

微分上同调是一类对光滑流形定义的上同调理论, 包括普通微分上同调. 这类理论利用流形的光滑结构, 得出比普通上同调理论更丰富的信息.

由普通上同调向微分上同调之推广正如由主丛向带联络的主丛之推广. 例如, 对拓扑空间 $X$, 考虑圆周 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. 则普通上同调 $H^1(X;\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 是 $X$ 上圆周主丛的同构类之集, 而对应的普通微分上同调 ${\hat{H}}^2(X;\mathbb{Z})$ 则是 $X$ 上带联络的圆周主丛的同构类之集. 一般而言, ${\hat{H}}^{k+1}(X;\mathbb{Z})$ 是 $X$ 上 “带联络的圆周 $k$-丛” 的同构类之集. 普通微分上同调满足以下六边形图表:$$\frac{{\Omega }^k(X)}{d{\Omega }^{k-1}(X)}{\Omega }^{k+1}(X)H^k(X;\mathbb{R}){\hat{H}}^{k+1}(X;\mathbb{Z})H^{k+1}(X;\mathbb{R})H^k(X;\mathbb{R}/\mathbb{Z})H^{k+1}(X;\mathbb{Z})d\text{带联络平凡丛}\text{曲率}\text{示性类}\delta \text{平坦联络}$$其中中间是普通微分上同调, 两条对角线为短正合列, 上、下两条折线都是四项的正合列. 准确地说, ${\Omega }^k(X)$ 是满足某种积分整性的微分形式之集. 光滑流形上的任何上同调理论都满足类似的六边形图表.

微分上同调可以进一步由光滑流形推广到一般的连贯 $(\infty ,1)$-意象.

1例子

•	普通微分上同调
•	广义微分上同调

术语翻译

微分上同调 • 英文 differential cohomology • 德文 Differentialkohomologie (f) • 法文 cohomologie différentielle (f)