内 (∞,1)-范畴

内 $(\infty ,1)$-范畴是内范畴向 $(\infty ,1)$-范畴的推广, 即 $(\infty ,1)$-范畴中的内范畴.

通过内 $(\infty ,1)$-范畴, 可以写下 $(\infty ,n)$-范畴的一种严格定义, 即通过 $n$ 重完备 Segal 空间定义之.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 是 $(\infty ,1)$-范畴. $\mathcal{C}$ 的内范畴是指 $(\infty ,1)$-函子$$X:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}⟶\mathcal{C},$$即 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象, 其中 $\mathbb{\Delta }$ 是单形范畴, 使得对任意自然数 $n$, 诱导的态射$$X_n⟶\underset{n\text{ 个 }{X}_1}{\underbrace{X_1\underset{X_0}{\times }\cdots \underset{X_0}{\times }{X}_1}}$$是 $\mathcal{C}$ 中的同构, 其中 $X_n$ 代表 $X(n)$. 这里, 我们假设 $\mathcal{C}$ 中具有上式右边的 $(\infty ,1)$-极限.

在定义中, $X_n$ 可以视为内 $(\infty ,1)$-范畴的所有 $n$-态射的空间, 作为 $\mathcal{C}$ 的对象. 要求态射$$X_n⟶X_1\underset{X_0}{\times }\cdots \underset{X_0}{\times }{X}_1$$可逆, 是在说 $X$ 中任何 $n$ 个可复合的 $1$-态射都可以在同伦意义下唯一地复合. 换言之, $X$ 作为单纯对象, 具有从脊 ${\mathrm{Sp}}^n$ 到单形 $\Delta [n]$ 的提升性质.

2参考文献

以下文献 §1.1 详述了内 $(\infty ,1)$-范畴的定义和性质:

•	Jacob Lurie (2009). “$(\infty ,2)$-categories and the Goodwillie Calculus I”. arXiv: 0905.0462.

3相关概念

术语翻译

内 $(\infty ,1)$-范畴 • 英文 internal $(\infty ,1)$-category