(∞,1)-极限

$(\infty ,1)$-极限是极限在 $(\infty ,1)$-范畴中的推广.

1定义

定义 1.1 (极限与余极限). 令 $\mathcal{I}$ 以及 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴. 令 $\underline{(-)}:\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$ 为将 $\mathcal{C}$ 中对象 $c$ 映为取值为 $c$ 的常值函子的函子.

1.	令 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-函子. 则 $F$ 的余极限 $\mathrm{colim}F$ 定义为 $F$ 在 $\underline{(-)}$ 下的左伴随对象. 对偶地, $F$ 的极限 $\lim F$ 定义为 $F$ 在 $\underline{(-)}$ 下的右伴随对象.
2.	称 $\mathcal{C}$ 具有全体 $\mathcal{I}$-型余极限 (极限) 是指全体 $\mathcal{I}$ 到 $\mathcal{C}$ 的 $(\infty ,1)$-函子都存在余极限 (极限).

2性质

引理 2.1. 左伴随保余极限, 而右伴随保极限.

证明. [Lurie 2018, 02KE]

$\square$

引理 2.2. 令 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 以及 $\mathcal{I}$ 均为 $(\infty ,1)$-范畴. 且 $\mathcal{D}$ 具有全体 $\mathcal{I}$-型余极限. 则 $\mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{D})$ 也具有全体 $\mathcal{I}$-型余极限, 且对于全体 $x\in \mathcal{C}$, 求值函子$${\mathrm{ev}}_x:\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})\to \mathsf{Fun}(\{x\},\mathcal{D})\simeq \mathcal{D}$$保持 $\mathcal{I}$-型余极限. 极限的版本即为对偶命题.

命题 2.3. 令 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-函子, 则以下条件等价:

1.	$F$ 在 $\mathcal{C}$ 中存在极限.
2.	逗号范畴 $\mathcal{C}\underset{\mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}{\vec{\times }}\{F\}\to \mathcal{C}$ 有终对象.
3.	切片范畴 ${\mathcal{C}}_{/F}$ 存在终对象.

对偶地给出余极限情况.

定理 2.4. 对于组合的单纯模型范畴 $A$, 其同伦脉 $\mathfrak{N}(A^{\circ })$ 具有全体极限以及余极限. $(\infty ,1)$-函子 $F:\mathcal{I}\to \mathfrak{N}(A^{\circ })$ 的余极限和极限分别刻画为$$\mathrm{colim}(F)\simeq R({\mathrm{hocolim}}_{\mathfrak{C}(\mathcal{I})}\tilde{F}),\lim (F)\simeq Q({\mathrm{holim}}_{\mathfrak{C}(\mathcal{I})}\tilde{F})$$此处 $\tilde{F}:\mathfrak{C}(\mathcal{I})\to A^{\circ }$ 为 $F$ 的伴随, $R$ 和 $Q$ 分别表示纤维性替换以及余纤维性替换函子.

证明. [Lurie 2009, Theorem 4.2.4.1]

$\square$

3${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 以及 $\mathsf{Ani}$ 中的极限与余极限

定义 3.1 (截面所构成的 $(\infty ,1)$-范畴). 对于推出纤维化 $p:E\to S$, 记截面所构成的 $(\infty ,1)$-范畴 $\Gamma (p)$ 为拉回$$\Gamma (p)\mathsf{Fun}(S,E)\{1_S\}\mathsf{Fun}(S,S).p_{\ast }$$由推出纤维化均为同纤维化保证其为 $(\infty ,1)$-范畴. 令 ${\Gamma }_{\mathrm{cocart}}(p)\subseteq \Gamma (p)$ 为将 $S$ 中全体边映为 $E$ 中 $p$-推出态射的截面所构成的全子范畴.

以下定理将说明如何刻画形如 $F:\mathcal{I}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 的极限与余极限.

定理 3.2. 给定图表 $F:\mathcal{I}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$, 记其反直化为 $\mathrm{Un}(F)=p:\mathcal{U}\to \mathcal{I}$, 其余极限与极限可被刻画为$$\mathrm{colim}F\simeq \mathrm{Un}(F)[\{p\text{-}推出态射{\}}^{-1}],\lim F\simeq {\Gamma }_{\mathrm{cocart}}(\mathrm{Un}(F))$$更进一步, 若 $F$ 穿过 $\mathsf{Ani}$, 则$$\mathrm{colim}F\simeq |\mathrm{Un}(F)|,\lim F\simeq \Gamma (\mathrm{Un}(F))$$此处 $|\mathrm{Un}(F)|$ 指 $\mathrm{Un}(F)$ 的几何实现, 即对于全体 $1$-态射进行局部化.

证明. 只处理极限的情况, 余极限也是类似的. 证明的核心在于利用常值函子 $\underline{\mathcal{C}}$ 的反直化为 $\mathcal{C}\times \mathcal{I}\to \mathcal{I}$. 考虑图表$$\mathsf{Fun}(\mathcal{I},{\mathsf{Cat}}_{\infty }){\mathsf{Cat}}_{\infty }\mathsf{Cocart}(\mathcal{I})\mathrm{Un}\underline{(-)}\mathrm{St}$$不难发现指向右下的箭头将 $\mathcal{C}\in {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 映为 $\mathcal{I}$ 上的推出纤维化 $p_2:\mathcal{C}\times \mathcal{I}\to \mathcal{I}$. 令 $X\simeq \lim F$, 则由定义 1.1 可知存在同构 $\mathsf{Fun}(\mathcal{I},{\mathsf{Cat}}_{\infty })(\underline{\mathcal{C}},F)\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty }(\mathcal{C},X)$. 对左侧进行反直化, 给出同构$$\mathsf{Cocart}(\mathcal{I})(p_2,p)\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty }(\mathcal{C},X).$$给定 $\phi \in \mathsf{Cocart}(\mathcal{I})(p_2,p)$, 根据指数律给出态射 $\tilde{\phi }\in \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{U}))$. 而由于 $\phi$ 在 $\mathcal{I}$ 上给出可知 $\tilde{\phi }$ 穿过 $\Gamma (p)$. 接下来只需说明 $\phi$ 保持 $p_2$-推出态射当且仅当 $\tilde{\phi }$ 穿过 ${\Gamma }_{\mathrm{cocart}}(p)$ 即可, 不难看出 $p_2$-推出态射均形如 $(\mathcal{C}中的同构,\mathcal{I}中任意态射)$. 因此只需关于 $\mathcal{C}$ 中同构进行讨论. 考虑 $\mathcal{C}$ 中的同构 $f:c\to c^{\prime }$, 其在 $\tilde{\phi }$ 下的像为自然变换 $\eta :\tilde{\phi }(c)\Rightarrow \tilde{\phi }(c^{\prime })$. 若 $\phi$ 保持 $p_2$-推出态射, 则对于任意 $\mathcal{I}$ 中态射 $h:i\to i^{\prime }$, 复合$$\tilde{\phi }(c)(i)\stackrel{{\eta }_i}{\to }\tilde{\phi }(c^{\prime })(i)\stackrel{g_{\ast }}{\to }\tilde{\phi }(c^{\prime })(i^{\prime })$$为 $\mathcal{U}$ 中的 $p$-推出态射. 由 $f$ 为同构可知 ${\eta }_i$ 在 $\mathcal{U}$ 中为同构, 因此自动为 $p$-推出态射. 从而上述复合为 $p$-推出态射当且仅当 $h_{\ast }$ 为 $p$-推出态射. 这无异于说 $\tilde{\phi }(c^{\prime })$ 将 $\mathcal{I}$ 中全体态射映为 $\mathcal{U}$ 中的 $p$-推出态射, 根据定义 3.1 可知 $\tilde{\phi }$ 穿过 ${\Gamma }_{\mathrm{cocart}}(p)$. 而这无异于说 $X\simeq {\Gamma }_{\mathrm{cocart}}(p)$.

$\square$

推论 3.3. 令 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-函子, 则自然变换 $c_F:\underline{y}\Rightarrow F$ 使得 $y\in \mathcal{C}$ 为 $F$ 的极限当且仅当对于每个 $x\in \mathcal{C}$ 自然态射$$c_F^{\ast }:\mathcal{C}(x,y)\stackrel{\sim }{\to }\lim \mathcal{C}(x,F(i))$$均为同构. 对偶版本的命题可以刻画余极限.

证明. 对于 $\mathcal{C}(x,F(-)):\mathcal{I}\to \mathsf{Ani}$ 进行反直化给出左纤维化 $F^{\ast }({\mathcal{C}}_{x/})\to \mathcal{I}$, 它是投影态射 $t:{\mathcal{C}}_{x/}\to \mathcal{C}$ 沿 $F$ 的拉回. 从而根据定理 3.2 可知 $\lim \mathcal{C}(x,F(i))\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{I}}(\mathcal{I},F^{\ast }({\mathcal{C}}_{x/}))$. 而 ${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{I}}(\mathcal{I},F^{\ast }({\mathcal{C}}_{x/}))\simeq \mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})(\underline{x},F)$. 从而说明 $y$ 就为 $F$ 的极限.

$\square$

推论 3.4. 对于任意 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, $(\infty ,1)$-函子 $\mathcal{C}(x,-):\mathcal{C}\to \mathsf{Ani}$ 以及 $\mathcal{C}(-,y):{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Ani}$ 对于全体 $x,y\in \mathcal{C}$ 保持极限. 同理 Yoneda 嵌入 $y:\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$ 保极限.

4参考资料

建立高阶范畴论的基础著作:

•	Jacob Lurie (2018). Kerodon.
•	Jacob Lurie (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press.
•	Jacob Lurie (2017). Higher Algebra.

入门读物:

•	Ferdinand Wagner (2024). “$\infty$-Categories in Topology”. (web)
•	Ferdinand Wagner (2021). “Algebraic and Hermitian $K$-Theory”. (web)
•	讲义: 同伦代数与同调代数

5相关概念

•	Quillen 定理 A
•	$(\infty ,1)$-Kan 扩张
•	$(\infty ,1)$-共尾函子
•	滤 $(\infty ,1)$-余极限
•	筛 $(\infty ,1)$-余极限

术语翻译

$(\infty ,1)$-极限 • 英文 $(\infty ,1)$-limit