生象化

生象化起源于 Jiří Rosický 在 [Rosickỳ 2007] 中对于同伦意义下对于代数理论进行推广的探索 (或者说对于同伦代数的尝试), 而后 Jacob Lurie 在 [Lurie 2009, $\S$ 5.5.8-$\S$ 5.5.9] 中将这套理论称为非 Abel 导出范畴 (在 [Rosickỳ 2007] 中叫同伦簇). 而 Peter Scholze 在 [Česnavičius–Scholze 2024, $\S$ 5.1] 中使用生象化以此来描述将集合上所搭建的代数结构移植到生象上这一过程.
在此先对于代数范畴理论进行一些回顾: 为更加方便的在一般的范畴上研究代数, Francis William Lawvere 提出代数理论这一概念, 粗略来说, 它是指一个带有有限积的范畴 $\mathcal{T}$. 对于带有有限积的范畴 $\mathcal{K}$, $\mathcal{K}$ 上的 $\mathcal{T}$-代数是指保有限乘积的函子 $\mathcal{T}\to \mathcal{K}$. 在集合范畴 $\mathsf{Set}$ 上的代数就是集合上所构建的代数结构. 在单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$ 上的代数可以视为在集合上的代数所构成的范畴中的单纯对象. 现在对于代数理论 $\mathcal{T}$, 考虑集合上全体 $\mathcal{T}$-代数所构成范畴 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})={\mathsf{Fun}}_{\prod }(\mathcal{T},\mathsf{Set})$ (在 [Rosickỳ 2007] 中叫簇) 其中 ${\mathsf{Fun}}_{\prod }$ 是指保持有限积的函子所构成的全子范畴. 这一般并不能直接看出, 因此我们需要寻找在范畴等价意义下的类似物, [Adámek–Rosickỳ 2001] 使用筛余极限语言对于 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 的范畴等价类似物进行了刻画, 他指出 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 等价于满足以下条件的范畴

•	余完备
•	存在由紧投射对象所构成的子集 $S$, 并且使得 $\mathcal{C}$ 中对象均为 $S$ 中对象的筛余极限.

[Adámek–Rosickỳ 2001, Theorem 3.10] 说明满足上述条件的范畴等价于某个代数理论 $\mathcal{T}$ 所给出的 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$. 将 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 在高阶范畴论中的对应称为非 Abel 导出范畴. 而生象化是指将前文中等价于 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 的范畴 (后文中称为代数范畴, 定义 1.1) 移植到高阶范畴论环境中的操作.

1定义

定义 1.1 (代数范畴). 令 $\mathcal{C}$ 为余完备范畴, 称其为代数范畴是指存在具有有限余积的本质小全子范畴 ${\mathcal{C}}_0\subset \mathcal{C}$ 使其沿 Yoneda 嵌入 $y:{\mathcal{C}}_0\to {\mathsf{Fun}}_{\prod }({\mathcal{C}}_0^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 以及 ${\mathcal{C}}_0\to \mathcal{C}$ 诱导出范畴等价$${\mathsf{Fun}}_{\prod }({\mathcal{C}}_0^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})\to \mathcal{C}$$

定义 1.2 (非 Abel 导出范畴). 给定带有有限余积的 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 其非 Abel 导出范畴 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 是指 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 中保持有限乘积的函子所构成的全子范畴.

定义 1.3 (生象化). 对于代数范畴 $\mathcal{C}$. 称 $\mathcal{C}$ 的生象化 $\mathsf{Ani}(\mathcal{C})$ 是指 $N({\mathcal{C}}_0{)}^{\mathrm{op}}$ 的非 Abel 导出范畴.

定义 1.4 (生象化函子). 给定代数范畴之间的态射 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 若其保持筛余极限, 则给出本质唯一的函子 $\mathsf{Ani}F:\mathsf{Ani}(\mathcal{C})\to \mathsf{Ani}(\mathcal{D})$ 使得以下图表交换$${\mathcal{C}}_0\mathcal{D}\mathsf{Ani}(\mathcal{D})\mathsf{Ani}(\mathcal{C})F{\mid }_{{\mathcal{C}}_0}\mathsf{Ani}(F)$$. 称为 $F$ 的生象化.

注 1.5. 对于 $X\in \mathsf{Ani}(\mathcal{C})$, 有函子性的典范同构$${\pi }_0\mathsf{Ani}(F)(X)\simeq F({\pi }_0(X)),$$此处 ${\pi }_0$ 为生象化函子 $\mathcal{C}\to \mathsf{Ani}(\mathcal{C})$ 的左伴随.

模型结构

定义 1.6. 令 $\mathcal{C}$ 为带有有限积的范畴, 记 $\mathbf{A}:=\mathsf{sAlg}(\mathcal{C})$ 为全体保持乘积的 $F:\mathcal{C}\to \mathsf{sSet}$ 所张成的全子范畴 (即取值于单纯集的代数结构). 则 $\mathbf{A}$ 具有以下单纯模型结构:

•	弱等价为对于全体 $c\in \mathbf{A}$, $\alpha (c):F(c)\to F^{\prime }(c)$ 为单纯集的弱同伦等价的自然变换 $\alpha :F\Rightarrow F^{\prime }$.
•	纤维化为对于全体 $c\in \mathbf{A}$, $\alpha (c):F(c)\to F^{\prime }(c)$ 为 Kan 纤维化的自然变换 $\alpha :F\Rightarrow F^{\prime }$.

推论 1.7. 自然态射 $N({\mathbf{A}}^{\circ })\to {\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(N(\mathcal{C}{)}^{\mathrm{op}})$.

2性质

代数范畴的性质:

命题 2.1. 对于代数范畴 $\mathcal{C}$, 记其紧投射对象所构成的全子范畴为 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{cp}}$. 则有范畴等价 $\mathcal{C}\simeq \mathsf{Fun}(({\mathcal{C}}^{\mathrm{cp}}{)}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$. 即 ${\mathcal{C}}_0\simeq {\mathcal{C}}^{\mathrm{cp}}$.

证明. [Česnavičius–Scholze 2024, Proposition 5.1.2] 及其上讨论.

$\square$

而后以非 Abel 导出范畴的性质为主, 生象化的性质则作为推论.

命题 2.2. 生象范畴 $\mathsf{Ani}$ 是集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的生象化.

证明. 由于 $\mathsf{Fin}$ 中每个对象均可拆为若干个只有一个元素的对象的无交并 (即余积). 因此$${\mathsf{Fun}}_{\prod }(N(\mathsf{Fin}{)}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})\simeq \mathsf{Fun}(\ast ,\mathsf{Ani})\simeq \mathsf{Ani}.$$

$\square$

注 2.3. 因此生象是导出意义下的集合. [Česnavičius–Scholze 2024] 也将生象称为生象集.

命题 2.4. 令 $\mathcal{C}$ 为带有余积的 $(\infty ,1)$-范畴, 则

1.	${\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 为 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 的可达局部化.
2.	Yoneda 嵌入 $y:\mathcal{C}\to \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 穿过 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$. 此外, $y$ 将 $\mathcal{C}$ 中对象映为 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 中对象的有限余积.
3.	令 $\mathcal{D}$ 为 可表现 $(\infty ,1)$-范畴且给出伴随对$$\mathsf{PSh}(\mathcal{C})\mathcal{D}F\perp G$$则 $G$ 穿过 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 当且仅当 $f=F\circ y:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 保有限余积.
4.	全子范畴 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})\subseteq \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 在筛 $(\infty ,1)$-余极限下稳定.
5.	令 $L:\mathsf{PSh}(\mathcal{C})\to {\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 为嵌入函子的左伴随, 则 $L$ 保持筛余极限.
6.	${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 是紧生成的.

证明. [Lurie 2009, Proposition 5.5.8.10].

$\square$

由此可以推知:

推论 2.5. 非 Abel 导出范畴 ${\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 是可表现 $(\infty ,1)$-范畴. 更进一步, ${\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 是完备且余完备的.

命题 2.6. 令 $\mathcal{C}$ 为带有有限余积的 $(\infty ,1)$-范畴, 且 $\mathcal{D}$ 为带有滤过余极限以及几何实现的 $(\infty ,1)$-范畴. 则

1.

Yoneda 嵌入 $y:\mathcal{C}\to {\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 诱导范畴等价$$\theta :{\mathsf{Fun}}_{\Sigma }({\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C}),\mathcal{D})\simeq \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D}).$$其中 ${\mathsf{Fun}}_{\Sigma }$ 是指保持筛 $(\infty ,1)$-余极限的函子所张成的全子范畴 (原文中为保持滤 $(\infty ,1)$-余极限以及几何实现 (单纯对象) 的函子, 由于 ${\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 余完备, 因此根据筛 $(\infty ,1)$-余极限词条中的性质知为保持筛 $(\infty ,1)$-余极限)

2.

若 $\mathcal{D}$ 具有有限余积. 则 $g$ 保持小余极限当且仅当 $g\circ y$ 保有限余积.

证明. [Lurie 2009, Proposition 5.5.8.15]

$\square$

命题 2.7. 令 $\mathcal{C}$ 为带有有限余积的 $(\infty ,1)$-范畴, $\mathcal{D}$ 为带有滤过余极限以及几何实现的 $(\infty ,1)$-范畴. 且由 $F:{\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})\to \mathcal{D}$ 所诱导的函子 $f=F\circ y:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 考虑以下条件:

1.	$f$ 是全忠实的.
2.	$f$ 的本质像由 $\mathcal{D}$ 中的紧投射对象构成.
3.	$\mathcal{D}$ 由 $f$ 的本质像在滤 $(\infty ,1)$-余极限以及几何实现下生成.

若前两条满足则 $F$ 全忠实. 此外, 若第三条也满足则 $F$ 为范畴等价.

证明. [Lurie 2009, Proposition 5.5.8.22]

$\square$

定理 2.8. 对于交换环 $R$, $\mathsf{Ani}(R\text{-}\mathsf{Mod})\simeq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$.

证明.

证明. 可以使用两个角度观察这一点:

•

(模型范畴角度) 考虑 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 情况下的 Dold–Kan 对应, 这给出 $\mathsf{s}R\text{-}\mathsf{Mod}$(带单纯模型结构) 与 ${\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(R)$ (带投射模型结构) 的 Quillen 等价. 而前者无非是 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 所对应的代数理论 $\mathcal{C}$ 在定义 1.6 中所给出的 $\mathbf{A}$ . 从而根据推论 1.7 可知存在范畴等价 $\mathsf{Ani}(R\text{-}\mathsf{Mod})\simeq N({\mathbf{A}}^{\circ })$. 而后者根据 Dold-Kan 对应给出范畴等价 $N({\mathbf{A}}^{\circ })\simeq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$.

•

($(\infty ,1)$-范畴角度) 考虑有限生成投射 $R$-模所构成的全子范畴 $R\text{-}{\mathsf{Mod}}^{\mathrm{cp}}$. 接下来说明 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(R\text{-}{\mathsf{Mod}}^{\mathrm{cp}})\simeq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$. 而这只需说明 $R\text{-}{\mathsf{Mod}}^{\mathrm{cp}}$ 生成 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$. 考虑函子 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)(R,-):{\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)\to \mathsf{Ani}$. 不难发现 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)(R,-)\simeq {\Omega }^{\infty }\underline{\mathrm{Hom}}(R,-)\simeq {\Omega }^{\infty }$. 而筛 $(\infty ,1)$-余极限词条中说明 ${\Omega }^{\infty }$ 保持筛余极限. 因此对于 $\mathsf{Ani}$ 中的筛 $(\infty ,1)$-余极限图表, 由于 $\mathsf{Ani}$ 是 $\mathsf{Set}$ 的生象化, 因此其筛 $(\infty ,1)$-余极限图表的对象均为有限集, 对于 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$ 中的筛 $(\infty ,1)$-余极限图表, 其像也为筛 $(\infty ,1)$-余极限图表, 从而为有限生成自由模 $R^n$ 所组成的图表. 由于 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 为 Grothendieck Abel 范畴, 因此 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$ 可表现. 而 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)(R,-)$ 显然保守, 从而全体有限生成投射模生成 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$.

$\square$

命题 2.9. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 以及 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$ 为代数范畴间保持筛余极限的函子. 则有典范的自然变换$$\mathsf{Ani}(G)\circ \mathsf{Ani}(F)\Rightarrow \mathsf{Ani}(G\circ F).$$此外, 若满足以下二者之一, 则自然变换为同构:

1.	$F$ 将 ${\mathcal{C}}_0$ 映为 ${\mathcal{D}}_0$ (或更一般的, $F({\mathcal{C}}_0)\subset \mathrm{Ind}({\mathcal{D}}_0)$).
2.	$\mathsf{Ani}(G)(F({\mathcal{C}}_0))\subset \mathcal{E}\subset \mathsf{Ani}(\mathcal{E})$.

证明. [Česnavičius–Scholze 2024, Proposition 5.1.5]

$\square$

3例子

首先给出一些代数范畴以及其紧投射对象所构成全子范畴的例子:

•	集合范畴 $\mathsf{Set}$, ${\mathsf{Set}}^{\mathrm{cp}}=\mathsf{Fin}$.
•	群范畴 $\mathsf{Grp}$, ${\mathsf{Grp}}^{\mathrm{cp}}$ 为有限生成自由群.
•	Abel 群范畴 $\mathsf{Ab}$, ${\mathsf{Ab}}^{\mathrm{cp}}$ 为有限生成自由 Abel 群所构成的全子范畴.
•	令 $R$ 为交换环, 则 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 为代数范畴, $R\text{-}{\mathsf{Mod}}^{\mathrm{cp}}$ 为有限生成投射 $R$-模所构成的全子范畴 (事实上只需取 ${\mathcal{C}}_0$ 为有限生成自由 $R$-模所构成的全子范畴)
•	令 $R$ 为交换环, 则 $R\text{-}\mathsf{CAlg}$ 为代数范畴, 令 $\mathsf{Poly}(R)$ 为有限生成多项式代数 $R[T_1,\cdots ,T_n]$, $n\ge 0$ 张成的全子范畴则 $R\text{-}{\mathsf{CAlg}}^{\mathrm{cp}}$ 为 $\mathsf{Poly}(R)$ 及其收缩所构成的全子范畴 (实际使用时只需取 ${\mathcal{C}}_0$ 为 $\mathsf{Poly}(R)$ 即可).

而后给出它们所对应的生象化:

•	由命题 2.2 可知集合的生象化即为生象.
•	由定理 2.8 的类似思想可知, $\mathsf{Grp}$ 的生象化相当于对单纯群范畴中的弱等价取逆. 根据 [Lurie 2016, Theorem 5.2.6.10, Corollary 5.2.6.21] 可知 $\mathsf{Ani}(\mathsf{Grp})$ 为 ${\mathbb{E}}_1$-群所构成的 $(\infty ,1)$-范畴.
•	由定理 2.8 可知, 对于交换环 $R$, $\mathsf{Ani}(R\text{-}\mathsf{Mod})\simeq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$. 由于 $\mathsf{Ab}$ 为 $\mathbb{Z}\text{-}\mathsf{Mod}$, 则 $\mathsf{Ani}(\mathsf{Ab})$ 为 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathbb{Z})$. (但是 $\mathsf{Ani}(\mathsf{Ab})$ 不等价于 $\mathsf{Ani}$ 中的交换群, 即 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群所构成的 $(\infty ,1)$-范畴) 可以将其视为 $\mathsf{Ani}$ 中的 Abel 群对象.
•	由定理 2.8 的类似思想可知, $R-\mathsf{CAlg}$ 的生象化相当于对单纯 $R$-代数范畴中的弱等价取逆. 注 3.1. 将代数结构 $X$ 的生象化称为生象 $X$, 比如 Abel 群的生象化称为生象 Abel 群.

4参考文献

•	非 Abel 导出范畴原始论文 Jirı Rosickỳ (2007). “On homotopy varieties”. Advances in Mathematics 214 (2), 525–550. arXiv: 0509655 [math.CT].
•	与 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 等价的范畴 Jiřı́ Adámek, Jiřı́ Rosickỳ (2001). “On sifted colimits and generalized varieties.”. Theory and Applications of Categories [electronic only] 8, 33–53. (web)
•	Jacob Lurie (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press.
•	Jacob Lurie (2016). Higher Algebra. preprint.
•	Kęstutis Česnavičius, Peter Scholze (2024). “Purity for flat cohomology”. Annals of Mathematics 199 (1), 51–180. arXiv: 1912.10932 [math.AG].
•	Adeel A. Khan (2023). “Lectures on algebraic stacks”. arXiv: 2310.12456 [math.AG]. (web)

5相关概念

•	生象
•	生象环
•	模型范畴
•	余切复形

术语翻译

生象化 • 英文 animation

非 Abel 导出范畴 • 英文 nonabelian derived category

代数范畴 • 英文 algebraic category