伴随 (∞,1)-函子

伴随 $(\infty ,1)$-函子是伴随函子这一概念在 $(\infty ,1)$-范畴中的推广

1定义

定义 1.1. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴之间函子, 则

1.	对于 $x\in \mathcal{D}$. 称 $\mathcal{D}$ 中对象 $y$ 在 $\mathbf{F}$ 下为 $\mathbf{y}$ 的左伴随对象是指存在函子范畴 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$ 中的同构$$\mathcal{C}(x,x)\simeq \mathcal{D}(F(-),y).$$
2.	称函子 $F:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 为 $F$ 的右伴随是指存在函子范畴 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{D},\mathsf{Ani})$ 中的同构$$\mathcal{C}(-,G(-))\simeq \mathcal{D}(F(-),-).$$此时记为 $F⊣G$. 此时也称 $F$ 与 $G$ 构成一对伴随 $(\infty ,1)$-函子.

定义 1.2. 令 $F⊣G$ 为伴随 $(\infty ,1)$-函子, 则

•	自然变换的复合 $\mathcal{C}(-,-)\Rightarrow \mathcal{D}(F(-),F(-))\simeq \mathcal{D}(-,GF(-))$ 给出自然变换 $y\Rightarrow y\circ GF$, 此处 $y:\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Ani})$ 为 Yoneda 嵌入. 而由 Yoneda 嵌入的全忠实性, 可知这给出自然变换 $u:{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\Rightarrow GF$, 称为单位.
•	对偶地, 可以定义余单位 $c:FG\Rightarrow {\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}$.

定义 1.3. 令 $\mathcal{C}$ 以及 $\mathcal{D}$ 均为 $(\infty ,1)$-范畴, 考虑函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$, 记 ${\mathsf{Fun}}^L(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 为 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中作为左伴随的 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 所构成的全子范畴. 而 ${\mathsf{Fun}}^R(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 为 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中作为右伴随的函子所构成的全子范畴.

2性质

引理 2.1 (伴随可以逐点构造). 函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 有右伴随当且仅当对于任意 $d\in \mathcal{D}$ 都存在其右伴随对象 $c\in \mathcal{C}$.

证明.

证明. “仅当” 的方向是显然的, 接下来说明 “当” 的方向. 考虑函子 $\mathcal{D}(F(-),-):{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{D}\to \mathsf{Ani}$. 根据指数律可以将其转为函子 $\overline{G}:\mathcal{D}\to \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathsf{Ani})$. 由于对于任意 $d$, 都存在其右伴随对象 $c$, 因此 $\overline{G}(d)\simeq \mathcal{C}(-,c)=y(c)$, 此处 $y:\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$ 为 Yoneda 嵌入, 因此 $\overline{G}$ 穿过 Yoneda 嵌入的本质像. 而 Yoneda 嵌入全忠实, 考虑其本质像所构成的子范畴即为范畴等价, 从而复合上在其本质像上的逆给出函子 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$, 不难发现这就是所需的右伴随.

$\square$

引理 2.2 (三角等式). 令 $F⊣G$ 为 $(\infty ,1)$-范畴之间的伴随函子. 则有交换图表$$FFGFFFu{i}_{F}cF\text{以及}GGFGFuG{i}_{G}Gc$$此处 $i_F$ 和 $i_G$ 为逐点的恒等态射. 反过来, 若上述图表交换, 则有 $F⊣G$.

证明. 与 $1$-范畴的证明是一致的.

$\square$

命题 2.3. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 且 $F⊣G$ 为伴随函子, 令 $\mathcal{I}$ 为任意 $(\infty ,1)$-范畴, 则有以下伴随对$$\mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})\mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{D})\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{I})\mathsf{Fun}(\mathcal{D},\mathcal{I}\mathcal{D})F\circ -\perp G\circ --\circ G\perp -\circ F$$

证明. 与 $1$-范畴的证明是一致的.

$\square$

引理 2.4. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴之间的函子, 将其转化为 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中的 $1$-态射 $\Delta [1]\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$. 根据直化定理可知其对应于推出纤维化 $p:\mathcal{U}\to \Delta [1]$. 则以下条件等价:

1.	$F$ 有右伴随 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$.
2.	推出纤维化 $p$ 同时为拉回纤维化.

更进一步, 此时 $G$ 即为直化 ${\mathrm{St}}^{\mathrm{Cart}}(p):\Delta [1{]}^{\mathrm{op}}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$.

命题 2.5. 有典范同构 ${\mathsf{Fun}}^L(\mathcal{C},\mathcal{D})\simeq {\mathsf{Fun}}^R(\mathcal{C},\mathcal{D})$.

证明. [Lurie 2009, Proposition 5.2.6.2]

$\square$

命题 2.6. 左伴随保余极限而右伴随保极限.

证明. [Lurie 2018, 02KE].

$\square$

3例子

•	考虑嵌入 $\mathsf{Ani}\subseteq {\mathsf{Cat}}_{\infty }$, 它既有左伴随又有右伴随, 分别对应两种从 $(\infty ,1)$-范畴中得到生象的方式. 其左伴随为 $|-|:{\mathsf{Cat}}_{\infty }\to \mathsf{Ani}$, 称为几何实现, 具体构造为对于全体同构进行局部化. 其右伴随为 $(-{)}^{\simeq }:{\mathsf{Cat}}_{\infty }\to \mathsf{Ani}$, 具体构造为去掉不可逆的态射.

•	$N(\mathsf{Set})\subset \mathsf{Ani}$ 也具有左伴随 (即为道路连通分支).

上述两个伴随汇成一图得到$$N(\mathsf{Set})\mathsf{Ani}{\mathsf{Cat}}_{\infty }\subseteq {\pi }_0\subseteq |-|(-{)}^{\simeq }$$

•	令 $\mathcal{I}$ 为任意 $(\infty ,1)$-范畴, 考虑对角函子 $\mathrm{const}:\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$. 给定函子 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$, 则其关于 $\mathrm{const}$ 的左伴随对象若存在则称为 $F$ 的余极限. 其关于 $\mathrm{const}$ 的右伴随对象若存在则称为 $F$ 的极限.

•	(指数律) 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, 考虑 $(\infty ,1)$-范畴间的函子 $-\times \mathcal{C}:{\mathsf{Cat}}_{\infty }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$, 其有右伴随, 记为 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},-)$, 它将 $\mathcal{D}$ 映为 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$.

4$(\infty ,1)$-伴随函子定理

定理 4.1 (伴随函子定理). 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为可表现 $(\infty ,1)$-范畴之间的函子, 则

1.	$F$ 有右伴随当且仅当其保持小余极限.
2.	$F$ 有左伴随当且仅当其可达且保持小极限.

证明. [Lurie 2009, Corollary 5.5.2.9]

$\square$

5推荐阅读

•	讲义: 同伦代数与同调代数
•	Jacob Lurie (2018). Kerodon.
•	Jacob Lurie (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press.

6相关概念

•	伴随函子
•	伴随
•	$(\infty ,2)$-伴随函子