稳定化

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.
• $\widehat{\mathsf{Cat}}$ 为全体大范畴所构成的 (非常大) 范畴.

稳定化是一种通过对于环路函子进行局部化从而将 (带有有限极限) 范畴变为稳定范畴的方式.

大概思路是仿照以下结果: 令 $A$ 为交换环, $f\in A$ 为元素, 则局部化 $A_f$ 可计算为余极限$$A_f=\mathrm{colim}\left(A\stackrel{\cdot f}{\to }A\stackrel{\cdot f}{\to }\cdots \right).$$

1定义

定义 1.1. 令 $\mathcal{C}$ 为带有有限极限的范畴, 则 $\mathcal{C}$ 的稳定化 $\mathsf{Sp}(\mathcal{C})$ 定义为 $\widehat{\mathsf{Cat}}$ 中极限$$\mathsf{Sp}(\mathcal{C}):=\lim \left(\cdots \stackrel{\Omega }{\to }{\mathcal{C}}_{\ast }\stackrel{\Omega }{\to }{\mathcal{C}}_{\ast }\right).$$$\mathsf{Sp}(\mathcal{C})$ 中的对象称为 $\mathcal{C}$ 中的谱对象. 当 $\mathcal{C}=\mathsf{Ani}$ 为生象范畴时, 将 $\mathsf{Sp}(\mathcal{C})$ 记为 $\mathsf{Sp}$, 并称为谱. 对于 $n\in \mathbb{N}$ 将 $\mathsf{Sp}(\mathcal{C})$ 到上述极限中倒数第 $n+1$ 项的投影函子记为 ${\Omega }^{\infty -n}:\mathsf{Sp}(\mathcal{C})\to {\mathcal{C}}_{\ast }$.

2性质

命题 2.1. 令 $\mathcal{I}$ 和 $\mathcal{C}$ 为范畴, 且 $\mathcal{C}$ 带有有限极限, 则

•	若 $\mathcal{C}$ 有 $\mathcal{I}$-型极限, 则 $\mathsf{Sp}(\mathcal{C})$ 也带有 $\mathcal{I}$-型极限, 且 ${\Omega }^{\infty -n}$ 保持这些极限;
•	若 $\mathcal{C}$ 中有被 $\Omega :{\mathcal{C}}_{\ast }\to {\mathcal{C}}_{\ast }$ 所保持的 $\mathcal{I}$-型余极限, 则 $\mathsf{Sp}(\mathcal{C})$ 也带有 $\mathcal{I}$-型余极限, 且 ${\Omega }^{\infty -n}$ 保持这些余极限.

定理 2.2. 对于带有有限极限的范畴 $\mathcal{C}$, 其稳定化 $\mathsf{Sp}(\mathcal{C})$ 是稳定范畴. 特别地, 当 $\mathcal{C}$ 稳定时, 有范畴等价 $\mathsf{Sp}(\mathcal{C})\simeq \mathcal{C}$.

定理 2.3. 稳定化构成函子$$\mathsf{Sp}(-):{\mathsf{Cat}}_{\mathrm{lex}}\to {\mathsf{Cat}}_{\mathrm{st}},$$其中 ${\mathsf{Cat}}_{\mathrm{lex}}$ 是指带有有限极限的范畴及其间左正合函子所构成的范畴, ${\mathsf{Cat}}_{\mathrm{st}}$ 是指稳定范畴及其间正合函子所构成的范畴. 并且该函子具有全忠实的右伴随 $\iota :{\mathsf{Cat}}_{\mathrm{st}}\hookrightarrow {\mathsf{Cat}}_{\mathrm{lex}}$.

利用可表现范畴中 ${\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}\simeq ({\mathsf{Pr}}^{\mathrm{R}}{)}^{\mathrm{op}}$ 可得

命题 2.4. 当 $\mathcal{C}\in {\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}$ 为可表现范畴时, $\mathsf{Sp}(\mathcal{C})$ 可计算为余极限$$\mathrm{colim}\left({\mathcal{C}}_{\ast }\stackrel{\Sigma }{\to }{\mathcal{C}}_{\ast }\stackrel{\Sigma }{\to }\cdots \right).$$

相关概念

•	稳定 (∞,1)-范畴