(∞,1)-层

$(\infty ,1)$-层是层在 $(\infty ,1)$-范畴中的推广. 粗略来说, $(\infty ,1)$-层是对于 $(\infty ,1)$-景中的覆盖筛均满足下降条件的 $(\infty ,1)$-预层. 由于此时涉及到高阶的同伦结构, 因此在 $(\infty ,1)$-层的定义中需要使用到整个 Čech 脉.

1定义

定义 1.1. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, $U\in \mathcal{C}$ 为对象.

1.	$U$ 上的筛是指全子范畴 $\mathcal{U}\subseteq {\mathcal{C}}_{/U}$, 使得对于任意 $U$ 上的态射 $V^{\prime }\to V$ 若 $V\in \mathcal{U}$ 则 $V^{\prime }\in \mathcal{U}$.
2.	令 $f:U^{\prime }\to U$ 为 $\mathcal{C}$ 中的态射且 $\mathcal{U}$ 为 $U$ 上的筛. 拉回 $f^{\ast }\mathcal{U}$ 是 $U^{\prime }$ 上由使得 $f\circ g\in \mathcal{U}$ 的 $g:V\to U^{\prime \prime }$ 所张成的 ${\mathcal{C}}_{/U^{\prime }}$ 的全子范畴.

定义 1.2. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴. 令 $(U_i\to U{)}_i$ 为 $\mathcal{C}$ 中的一族态射, 则由 $({\mathbf{U}}_{\mathbf{i}}\to \mathbf{U}{)}_{\mathbf{i}}$ 生成的筛是指由全体穿过某个 $U_i$ 的态射 $V\to U$ 所构成的筛 $\mathcal{U}$.

定义 1.3 (下降信息). 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, $\mathcal{D}$ 为完备的 $(\infty ,1)$-范畴, $U\in \mathcal{C}$ 为对象, $\mathcal{F}$ 为 $\mathcal{D}$-值 $(\infty ,1)$-预层. 将筛 $\mathcal{U}$ 视为俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/U}$ 的全子范畴. 则

1.	预层 $\mathcal{F}$ 关于筛 $\mathcal{U}$ 的下降信息是指极限$$\mathrm{Desc}(\mathcal{U},\mathcal{F}):=\underset{V\in {\mathcal{U}}^{\mathrm{op}}}{\lim }\mathcal{F}(V).$$
2.	称预层 $\mathcal{F}$ 可沿着筛 $\mathcal{U}$ 下降是指有同构$$\mathcal{F}(U)\simeq \mathrm{Desc}(\mathcal{U},\mathcal{F}).$$
3.	称 $\mathcal{F}$ 关于筛 $\mathcal{U}$ 满足万有下降是指对于任意 $\mathcal{U}$ 的拉回均可沿其下降.

定义 1.4 ($(\infty ,1)$-景). $(\infty ,1)$-景是指二元组 $(\mathcal{C},J)$, 其中 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, $J$ 对每个 $U\in \mathcal{C}$ 指定一族筛, 满足下述条件:

•	$h_U\in J(U)$.
•	如 $S\in J(U)$, 且 $T\subseteq h_U$ 满足对每个 $V\in \mathcal{C}$ 以及 $f:V\to U$ 属于 $S(V)$, 都有 $f^{\ast }T\in J(V)$, 则 $T\in J(U)$.
•	如 $S\in J(U)$, $f:V\to U$, 则 $f^{\ast }S\in J(V)$.

$J$ 中元素称为覆盖筛. 无歧义时将 $(\mathcal{C},J)$ 简记为 $\mathcal{C}$.

定义 1.5 ($\infty$-层). 令 $(\mathcal{C},J)$ 为 $(\infty ,1)$-景, 且 $\mathcal{D}$ 为完备 $\infty$-范畴. 称 $\mathcal{C}$ 上的 $\mathcal{D}$-值预层 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{D}$-值 $(\infty ,1)$-层是指 $\mathcal{F}$ 可沿 $J$ 中任一覆盖筛进行下降. 记$$\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\mathcal{D})\subseteq \mathsf{PSh}(\mathcal{C},\mathcal{D})$$为由 $\mathcal{D}$-值层所生成的全子范畴. 对于生象层的情况简写为 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C})$.

2性质

命题 2.1 (层化). 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-景而 $\mathcal{D}$ 为可表现完备 $(\infty ,1)$-范畴, 则 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C})$ 可表现并且为自反子范畴, 即有伴随该嵌入的伴随称为层化.

方便起见, 引入以下记号:

定义 2.2. 对于集合 $I$, 定义 ${\mathbb{\Delta }}_I$ 为以下 1-范畴: 对象为二元组 $([n],i_{\bullet }\in I^{n+1})$. 态射 $([n],i_{\bullet })\to ([m],j_{\bullet })$ 定义为对于任意 $k\in [n]$ 都有 $i_k=j_{\alpha (k)}$ 的 $\alpha :[n]\to [m]$.

引理 2.3. 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴且 $(U_i\to U{)}_{i\in I}$ 为 $\mathcal{C}$ 中生成 $U$ 上筛 $\mathcal{U}$ 的态射. 若以下提及的任意纤维积 $U_{i_0}{\times }_U\cdots {\times }_U{U}_{i_n}$ 都在 $\mathcal{C}$ 中, 则

1.	存在 $\infty$-范畴之间的函子 ${\mathbb{\Delta }}_I\to \mathcal{U}$ 将 $([n],i_{\bullet })$ 映为 $U_{i_0}{\times }_U\cdots {\times }_U{U}_{i_n}$.
2.	令 $\mathcal{D}$ 为 ${\mathbb{\Delta }}_I$-值完备的 $\infty$-范畴 (即以其为图表的极限都存在). 则对于任意预层 $\mathcal{F}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$, 下降信息都可以表为$$\mathrm{Desc}(\mathcal{U},\mathcal{F})=\underset{([n],i_{\bullet })\in {\mathbb{\Delta }}_I}{\lim }\mathcal{F}(U_{i_0}{\times }_U\cdots {\times }_U{U}_{i_n})$$

推论 2.4. $(\infty ,1)$-层 $\mathcal{F}$ 在 Čech 脉上取值的极限就是它在整个空间上的取值.

3相关概念

•	Čech 脉
•	层
•	叠

术语翻译

$(\infty ,1)$-层 • 英文 $(\infty ,1)$-sheaf

下降信息 • 英文 descent data