G2

${\mathbf{G}}_2$ 是一个单根系, 是五个例外单根系 (${\mathrm{E}}_6$、${\mathrm{E}}_7$、${\mathrm{E}}_8$、${\mathrm{F}}_4$、${\mathrm{G}}_2$) 中最小的. 根系 ${\mathrm{G}}_2$ 的秩为 $2$, 维数为 $14$. 记号 ${\mathrm{G}}_2$ 也指它对应的单 Lie 群, 包括复 Lie 群及若干实形式. 对应的 单 Lie 代数记为 ${\mathfrak{g}}_2$.

不同于其余四个例外单 Lie 群, 紧 Lie 群 ${\mathrm{G}}_2$ 可能出现于 Riemann 流形的环移群中.

1描述

根系

${\mathrm{G}}_2$ 根系对应的 Dynkin 图为其 Cartan 矩阵为$$\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right].$$在 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^2$ 中, 可以选择一组单根$$\alpha =\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{6}}{6}\right),\beta =(\sqrt{2},0).$$如此一来, 它们生成的根系 ${\mathrm{G}}_2$ 一共具有 $12$ 个元素, 在 ${\mathbb{R}}^2$ 的排布形如容易看出, 为计算其 Weyl 群只需考虑较长 (或较短) 的 $6$ 根的对称群, 于是 $W({\mathrm{G}}_2)\cong D_{12}$ 是 $12$ 阶的二面体群.

紧 Lie 群

将根系 ${\mathrm{G}}_2$ 对应的紧 Lie 群仍记为 ${\mathrm{G}}_2$.

紧 Lie 群 ${\mathrm{G}}_2$ 是八元数代数 $\mathbb{O}$ 中所有保持范数的自同构构成的群. ${\mathrm{G}}_2$ 在其虚部 $\mathrm{Im}\mathbb{O}\simeq {\mathbb{R}}^7$ 的作用是 ${\mathrm{G}}_2$ 最小的不可约表示, 其维数为 $7$.

另一方面, ${\mathrm{G}}_2$ 也是特殊正交群 $\mathrm{SO}(7)$ 中保持 $3$-形式$$\omega =d{x}^{123}+d{x}^{145}+d{x}^{167}+d{x}^{246}-d{x}^{257}-d{x}^{347}-d{x}^{356}$$的元素构成的子群, 其中 $d{x}^{ijk}=d{x}^i\wedge d{x}^j\wedge d{x}^k$. 换言之,$${\mathrm{G}}_2=\{g\in \mathrm{SO}(7)\mid g^{\ast }\omega =\omega \}.$$

复 Lie 群

(...)

Lie 代数

与 Lie 群 ${\mathrm{G}}_2$ 相对应, Lie 代数 ${\mathfrak{g}}_2$ 秩为 $2$ 维数为 $14$.

Lie 代数 ${\mathfrak{g}}_2$ 的一个分裂的实形式可以这样给出, 记域 $\mathbb{F}\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, 令 $\times$ 为 ${\mathbb{F}}^3$ 上的叉乘. 记$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\in {\mathbb{F}}^3,l_x:=\left[\begin{array}{ccc}0& -x_3& x_2\\ x_3& 0& -x_1\\ -x_2& x_1& 0\end{array}\right].$$定义 Lie 子代数 $L\subset {\mathfrak{gl}}_7(\mathbb{F})$ 为$$L:=\left\{M_{a,x,y}:=\left[\begin{array}{ccc}0& -2y^{\mathrm{T}}& -2x^{\mathrm{T}}\\ x& a& l_y\\ y& l_x& -a^{\text{T}}\end{array}\right]:a\in {\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{F});x,y\in {\mathbb{F}}^3\right\}.$$显然维数上 $\dim L=14$. 此外通过在 $[A,B]:=AB-BA$ 中分别代入 $A,B=M_{a,0,0},M_{0,x,0},M_{0,0,y}$, 逐个分析配对情况即可得知 $L$ 在 Lie 括号下封闭. 有趣的是如果记 $L_0:=\{M_{a,0,0}:a\in {\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{F})\}$, $L_1:=\{M_{0,x,0}:x\in {\mathbb{F}}^3\}$, $L_2:=\{M_{0,0,y}:y\in {\mathbb{F}}^3\}$, 则我们计算 Lie 括号得到 $L$ 的一个 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$-分次: $$\begin{array}{r}[L_0,L_0]=[L_1,L_2]=L_0,\\ [L_2,L_2]=[L_0,L_1]=L_1,\\ [L_1,L_1]=[L_0,L_2]=L_2.\end{array}$$接下来我们指出 $L$ 是单的 Lie 代数, 且根系确实为 ${\mathrm{G}}_2$.

以下我们记 ${\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{F})$ 就是其中的子代数 $\{M_{a,0,0}\}$, 我们考虑 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}$ 取作 ${\mathfrak{sl}}_3(\mathbb{F})$ 的 Cartan 子代数, 即$$\mathfrak{h}=\{h(s_1,s_2,s_3):=\mathrm{diag}\{0,s_1,s_2,s_3,-s_1,-s_2,-s_3\}:s_1+s_2+s_3=0\}.$$那么 ${ϵ}_i:\mathfrak{h}\to \mathbb{F}$ 可取作 ${ϵ}_i(h(s_1,s_2,s_3)):=s_i$. 于是 $\{{ϵ}_1,{ϵ}_2\}$ 成为 ${\mathfrak{h}}^{\ast }$ 的一组基. 而且 ${ϵ}_1+{ϵ}_2+{ϵ}_3=0$. 不难计算得到 $L$ 的根空间为$$\begin{array}{rl}[h(s_1,s_2,s_3),M_{E_{ij},0,0}]& =({ϵ}_i-{ϵ}_j)(h)M_{E_{ij},0,0},\\ [h(s_1,s_2,s_3),M_{0,e_i,0}]& ={ϵ}_i(h)M_{0,e_i,0},\\ [h(s_1,s_2,s_3),M_{0,0,e_j}]& =-{ϵ}_j(h)M_{0,0,e_j}.\end{array}$$上面三类分别给出了根空间 $L_{{ϵ}_i-{ϵ}_j},L_{{ϵ}_i},L_{-{ϵ}_j}$. 于是根分解, 根集为$$L=\mathfrak{h}\oplus \underset{\alpha \in \Phi }{⨁}{L}_{\alpha },\Phi :=\{{ϵ}_i-{ϵ}_j:i\ne j\}\cup \{\pm {ϵ}_i\}.$$取单根 $\alpha :={ϵ}_2,\beta :={ϵ}_1-{ϵ}_2$, 就得到了前面取的标准 ${\mathrm{G}}_2$ 根系.

接下来我们检查 $L$ 是单的, 假设 $0\ne I$ 是 $L$ 的理想, 即 $[I,L]\subset I$. 假设 $I$ 中有一个非零元素, 按照根分解, 存在两种情况, 一种是这个元素 $M\in I$ 位于 $\mathfrak{h}$ 中, 另一种是 $M$ 投影到某 $L_{\alpha }$ 上非零. 对第一种情况来说, 由于 ${\bigcap }_i\ker {ϵ}_i=0$, 于是存在某 $\alpha$ 使得 $[M,L_{\alpha }]\subset I$ 中有元素落入第二种情况.

不难检查满射 $[L_{\alpha },L_{\beta }]=L_{\alpha +\beta }$ 对 $\alpha +\beta \ne 0$, 所以对于第二种情况, 对 $M\in I$, 取一个一般位置 (不落在任何根的核中) 的 $h\in \mathfrak{h}$, 现在 $[M,h]$ 仍在某 $L_{\alpha }$ 投影非零, 且没有 $\mathfrak{h}$ 中的分量. 于是不断与诸 $L_{\alpha }$ 做 Lie 括号, 由于根集有限以及在加法下的传递性, 做足够多次 Lie 括号后可得到一个 $L_{\alpha }$ 中的元素. 继续做 Lie 括号可知, 对任意 $\alpha \in \Phi$ 都有 $L_{\alpha }\subset I$. 最后再用它们即可重新生成 $\mathfrak{h}$ 中的所有元素, 于是 $I=L$. 由此得知 $L$ 是单的.

这一证明 Lie 代数是单代数的办法通常也适用于其他单 Lie 代数, 先写出根分解, 然后机械地进行这一讨论即可.

另外, ${\mathfrak{g}}_2$ 的紧实形式则形如$$\left\{\left[\begin{array}{ccccccc}0& C& -B& E& -D& -G& F-M\\ -C& 0& A& F& -G+N& D-K& -E-L\\ B& -A& 0& -N& M& L& -K\\ -E& -F& N& 0& -A+H& -B+I& C-J\\ D& G-N& -M& A-H& 0& J& I\\ G& K-D& -L& B-I& -J& 0& -H\\ -F+M& E+L& K& -C+J& -I& H& 0\end{array}\right]:A,\cdots ,N\in \mathbb{R}\right\}\subset {\mathfrak{so}}_7(\mathbb{R}).$$

实际上, ${\mathfrak{g}}_2$ 仅有两个实形式, 我们已经将二者具体写出.

2和叉积与八元数的关系

对于上述分裂实形式 $L$, 定义双线性形式$$N=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 2I_3\\ 0& 2I_3& 0\end{array}\right],N\left[\begin{array}{c}s\\ u\\ v\end{array}\right]=s^2+4u\cdot v.$$那么 $L\subset \mathfrak{so}({\mathbb{F}}^7,N)$, 即 $N(MX,Y)+N(X,MY)=0$ 对一切 $M\in L$ 和 $X,Y\in {\mathbb{F}}^7$.

此外如果再定义$$\left[\begin{array}{c}s\\ u\\ v\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}t\\ x\\ y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{c}2u^{\text{T}}y-2v^{\text{T}}x\\ sx-tu-2v\times y\\ -sy+tv+2u\times x\end{array}\right].$$那么 $N(X\times Y,X)=N(X\times Y,Y)=0$ 且$$N(X\times Y,X\times Y)=\det \left[\begin{array}{cc}N(X,X)& N(X,Y)\\ N(Y,X)& N(Y,Y)\end{array}\right].$$于是我们构造出了 ${\mathbb{F}}^7$ 上关于双线性型 $N$ 的叉积. 而且我们有$$L=\mathrm{Der}({\mathbb{F}}^7,\times )=\{M\in {\mathfrak{gl}}_7(\mathbb{F}):M(X\times Y)=M(X)\times Y+X\times M(Y)\}.$$另一方面, 对于紧实形式, 其也有类似的构造, 这一点我们已经在几何实现的小节中介绍过.

更加一般地, 对于一个 $3$-形式 $\omega \in {\Omega }^3({\mathbb{C}}^7)=({\wedge }^3{\mathbb{C}}^7{)}^{\ast }$, 如果它处于一般位置 (${\mathrm{GL}}_7(\mathbb{C})$ 作用的开轨道内), 那么$$\begin{array}{rl}\{g\in {\mathrm{GL}}_7(\mathbb{C}):(g\omega )(X,Y,Z)& :=\omega (gX,gY,gZ)=\omega (X,Y,Z),\forall X,Y,Z\in {\mathbb{C}}^7\}\cong {\mathrm{G}}_2(\mathbb{C}),\\ \{M\in {\mathfrak{gl}}_7(\mathbb{C}):(M\omega )(X,Y,Z)& :=\omega (MX,Y,Z)+\omega (X,MY,Z)+\omega (X,Y,MZ)=0,\forall X,Y,Z\in {\mathbb{C}}^7\}\cong {\mathfrak{g}}_2(\mathbb{C}).\end{array}$$实际上对于 $L$, 我们确实具有 $\omega (X,Y,Z):=N(X\times Y,Z)$ 带来$$\begin{array}{rl}& N((MX)\times Y,Z)+N(X\times (MY),Z)+N(X\times Y,MZ)\\ =& N((MX)\times Y,Z)+N(X\times (MY),Z)-N(M(X\times Y),Z)=0.\end{array}$$

最后我们也计算维数作为参考. ${\mathrm{GL}}_7(\mathbb{C})$ 具有复 $49$ 维, 而 ${\Omega }^3({\mathbb{C}}^7)$ 具有复 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$ 维. 两者相差的维数 $49-35=14$ 正是 ${\mathrm{G}}_2$ 的维数.

3表示

在 Lie 代数 ${\mathfrak{g}}_2$ 一节中, 我们具体给出了 ${\mathfrak{g}}_2$ 的七维表示, 考虑记 $V={\mathbb{F}}^7=\mathbb{F}\oplus {\mathbb{F}}^3\oplus {\mathbb{F}}^3$, 那么$$\begin{array}{rlrlr}h(s_1,s_2,s_3)\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right],& & h(s_1,s_2,s_3)\left[\begin{array}{c}0\\ e_i\\ 0\end{array}\right]=s_i\left[\begin{array}{c}0\\ e_i\\ 0\end{array}\right],& & h(s_1,s_2,s_3)\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ e_j\end{array}\right]=-s_j\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ e_j\end{array}\right].\end{array}$$这说明该表示的权空间为 $V_0,V_{{ϵ}_i},V_{-{ϵ}_j}$, $V$ 在前述 $\alpha ={ϵ}_1,\beta ={ϵ}_1-{ϵ}_2$ 的单根选取下是最高权 $-{ϵ}_3={ϵ}_1+{ϵ}_2=2\alpha +\beta$ 的最高权表示. 实际上由于 $L_{\alpha }{V}_{\beta }=L_{\alpha +\beta }$, 不难检查 $V$ 是不可约的. 此外 $L$ 具有伴随表示, 这显然也是一个不可约表示, 它的权空间分解自然就是 $L$ 的根空间分解, 所以其最高权为 ${ϵ}_1-{ϵ}_3=3\alpha +2\beta$.

从正根的 Weyl 腔可以看出, 全体不可约表示的最高权对应了 $2\alpha +\beta ,3\alpha +2\beta$ 的任意有限和. 于是这两者是 ${\mathrm{G}}_2$ 的两个基本表示. 一般地, ${\mathrm{G}}_2$ 的不可约表示维数从低到高为: $$\begin{array}{rl}& 1,7,14,27,64,77(\text{两次}),182,189,273,286,378,448,714,729,748,896,924,1254,\\ & 1547,1728,1729,2079(\text{两次}),2261,2926,3003,3289,3542,4096,4914,4928(\text{两次}),\\ & 5005,5103,6630,7293,7371,7722,8372,9177,9660,10206,10556,11571,11648,\\ & 12096,13090,14756,15625,17017,17472,18304,19019,19096,19278,19683,\cdots \end{array}$$

其中 $77$ 维的不可约表示有不同构的两个, 分别是权 $6\alpha +3\beta$ 和 $6\alpha +4\beta$ 对应的最高权表示. 类似的, $2079$ 维, $4928$ 维, $30107$ 维, …… 有一列维数, 它们对应的不可约表示恰有两个.

(...)

4有限群

有限群 ${\mathrm{G}}_2(q)$ 是代数群 ${\mathrm{G}}_2$ 的 ${\mathbb{F}}_q$-点构成的群. 阶数为 $q^6(q^6-1)(q^2-1)$. 对 $q\ne 2$ 均有 ${\mathrm{G}}_2(q)$ 为单群, 而 ${\mathrm{G}}_2(2)$ 则有一个指数 $2$ 的子群 ${}^2{A}_2(3^2)$ 是单群.

(...)

5相关概念

•	根系
•	半单 Lie 代数
•	八元数
•	Dynkin 图