滤 (∞,1)-余极限

滤 $(\infty ,1)$-余极限是滤余极限的 $(\infty ,1)$-版本.

1定义

定义 1.1. 设 $\kappa$ 是正则基数. ($\kappa$-) 滤 $(\infty ,1)$-余极限是指 ($\kappa$-) 滤 $(\infty ,1)$-范畴上的 $(\infty ,1)$-余极限.

2例子

•	($\kappa$)-滤范畴总是 ($\kappa$)-滤 $(\infty ,1)$-范畴, 因此 ($\kappa$)-滤余极限总是 ($\kappa$)-滤 $(\infty ,1)$-余极限.

•	($\kappa$-) 滤 $(\infty ,1)$-小范畴总与 ($\kappa$-) 滤的 偏序集 $(\infty ,1)$-共尾, 因此滤 $(\infty ,1)$-余极限总能化为 正向 $(\infty ,1)$-余极限.

3性质

命题 3.1. 设 $\mathcal{C}$ 是 $(\infty ,1)$-小范畴, 则 $\mathcal{C}$ 是滤 $(\infty ,1)$-范畴当且仅当对任意有限 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{D}$ 和任意到空间 $(\infty ,1)$-范畴的 $(\infty ,1)$-函子 $F:\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathsf{S}$, 自然的比较映射$$\lambda :\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}\underset{\mathcal{D}}{\lim }F\to \underset{\mathcal{D}}{\lim }\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}F$$都是同构.

类似地, $\mathcal{C}$ 是 $\kappa$-滤 $(\infty ,1)$-范畴当且仅当对任意 $\kappa$-小 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{D}$ 和任意 $(\infty ,1)$-函子 $F:\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathsf{Set}$, 自然的比较映射$$\lambda :\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}\underset{\mathcal{D}}{\lim }F\to \underset{\mathcal{D}}{\lim }\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}F$$都是同构.

注 3.2. 如果将 $\mathsf{S}$ 换成别的范畴, 则以上命题的两个方向都不一定对.

4相关概念

术语翻译

滤 $(\infty ,1)$-余极限 • 英文 filtered $(\infty ,1)$-colimit