滤范畴

滤范畴是有向集的范畴论推广, 把任意有限个元素都有上界推广为任意有限图表都能打到一个对象 (定义 1.2).

1定义

定义 1.1 (锥). 范畴 $I$ 的右锥 $I^{⊳}$ 指对象集为 $I\bigsqcup \{\ast \}$, 映射为$${\mathrm{Hom}}_{I^{⊳}}(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{Hom}}_I(x,y),& x,y\in I;\\ \varnothing ,& x=\ast ,y\ne \ast ;\\ \{\ast \},& y=\ast ;\end{array}$$的范畴, 即给 $I$ 手动添加终对象所得范畴.

定义 1.2 (滤范畴). 称范畴 $\mathcal{C}$ 为滤范畴, 指其中任意有限图表 $I\to \mathcal{C}$ (即 $I$ 为有限范畴者) 都能延拓到右锥 $I^{⊳}\to \mathcal{C}$.

这一概念也可推广到更大的基数.

定义 1.3 ($\kappa$-小范畴). 对不可数基数 $\kappa$, $\mathbf{\kappa }$-小范畴指的是对象和映射数量都小于 $\kappa$ 的范畴.

定义 1.4 ($\kappa$-滤范畴). 设 $\kappa$ 是不可数正则基数. 称范畴 $\mathcal{C}$ 为 $\mathbf{\kappa }$-滤范畴, 指的是对任意 $\kappa$-小范畴 $I$, 任一图表 $I\to \mathcal{C}$ 都能延拓为 $I^{⊳}\to \mathcal{C}$.

由于 ${\aleph }_0$-小范畴就是有限范畴, 所以 ${\aleph }_0$-滤范畴就是滤范畴. (要注意有限范畴并非对象和映射都有限者: 对有限群 $G$, $BG$ 不是有限范畴, 而 $B\mathbb{Z}$ 反倒是有限范畴.)

2性质

命题 2.1. 范畴 $\mathcal{C}$ 是滤范畴当且仅当它满足如下几条:

•	$\mathcal{C}$ 非空.
•	对任意 $x,y\in \mathcal{C}$, 存在 $z\in \mathcal{C}$ 以及映射 $x\to z$, $y\to z$.
•	对任意 $x,y\in \mathcal{C}$ 以及 $f,g:x\to y$, 存在 $z\in \mathcal{C}$, $h:y\to z$, 使得 $hf=hg$.

命题 2.2. 一个偏序集视为范畴是滤范畴当且仅当它是有向集.

定理 2.3. 设 $\kappa$ 是正则基数, $\mathcal{C}$ 是 $\kappa$-滤的小范畴. 则存在 $\kappa$-滤的偏序集 $C$ 以及共尾函子 $C\to \mathcal{C}$.

3例子

4相关概念

•

滤余极限

术语翻译

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