用户: 遗忘的左伴随/代数几何/概形的基本概念与拓扑性质

1$\mathrm{Spec}A$

本节来讲述概形的定义.
概形是现代代数几何理论的主要研究对象, 我们的出发点是 “$\mathrm{Spec}A$”, 在不同的几何中, 我们有不同的 “$\mathrm{Spec}A$”, 比如

•	在微分几何中, “$\mathrm{Spec}A$” 即为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集.
•	在复几何中, “$\mathrm{Spec}A$” 为 $C^n$ 中的开集.
•	在经典代数几何中, “$\mathrm{Spec}A$” 即为仿射代数簇.

因此,“$\mathrm{Spec}A$” 实际上指的是一套理论的最小的组成部分, 并且可以通过这一最小的组成部分来拼接成一个整体的几何对象.
现在, 我们来说明在代数几何中 “$\mathrm{Spec}A$” 到底是个什么东西?
我们知道, 在经典的代数几何中, 对于 Zariski 闭集 $V\subset A_k^n$. 可以取其上的函数环 (实际上是 $k$-代数), 记为 $O(V)$. 令 $\mathrm{Map}(V,k)$ 表示由 $V$ 到 $k$ 的映射全体构成集合, 则 $O(V)$ 可以等价地被描述为$$O(V)=\mathrm{im}(k[X_1,\cdots ,X_n]\to \mathrm{Map}(V,k))$$这样, 我们就可以将 $A_k^n$ 中的多项式嵌入进由 $V\to k$ 的集合论意义下的函数全体构成的环中, 也可以类似地改写 $V(\mathfrak{a})$ 为$$V(\mathfrak{a})={\mathrm{Hom}}_{k-alg}(A,k)$$此处 $A$ 为 $k[X_1,\cdots ,X_n]/\mathfrak{a}$.
回忆到经典的代数几何理论中, 我们具有以下的范畴等价$${\mathrm{AffVar}}_k\leftrightarrow \{\text{既约有限生成}k\text{-代数}\},$$现在, 我们想要将这一结果推广到更一般的环上去, 并且仿射代数集构成的全子范畴可以自然地嵌入其中, 即具备相容性. 而一般的环中, 没有基域 $k$.

约定. 我们考虑的所有环都是交换含幺环, 所有映射均为环同态. 换言之, 我们只在交换环范畴 $\mathrm{CRing}$ 中工作.

以上内容启发我们定义一个结构. 由于一般的环中, 没有基域 $k$, 但是我们需要让之前那一套理论能够完美地嵌入到新的理论中, 因此我们首先考虑 $\mathrm{Hom}(A,k)$ 当 $A$ 为 $k[X_1,\cdots ,X_n]/\mathfrak{a}$ 时应当与前文相等价, 而另一方面我们发现每个交换环都可以通过模去素理想成为整环, 进一步进行局部化变为分式域, 这就得到了 $\mathrm{Hom}(A,\kappa (\mathfrak{p}))$ 其中 $\mathfrak{p}$ 为 $A$ 的素理想, 这就使得交换环与至少一个域产生了联系, 我们可以利用这种信息来构建我们的新理论, 并且为了防止产生不必要的信息, 域间的环同态应当保持这一信息.¹这个定义来自 Peter Scholze,Algebraic Geometry I.

定义 1.1 (素谱). 令 $A$ 为环, 则 $\mathrm{Spec}A$ 为满足以下性质的环同态 $A\to k$ 全体构成的集合, 其中 $k$ 为域, 使得对其中两个映射 $A\to k$ 以及 $A\to k^{\prime }$ 若有以下图表交换则这两个态射相同. 事实上, 可以将其改写为$$\mathrm{Spec}A={\mathrm{colim}}_{k\in \mathrm{Field}}{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Ring}}(A,k)$$其中 $\mathrm{Field}$ 和 $\mathrm{Ring}$ 分别为域与环所构成的范畴. 称这样的 $\mathrm{Spec}A$ 为 $A$ 的素谱.

但是这样又遇到了一个问题, 即 $\mathrm{Spec}A$ 不一定在集合论意义下构成一个集合, 也就是说这样的定义实际上并没有那么好用. 我们需要对其进行一些改良, 得到经典的由素理想定义的素谱概念.

命题 1.2. 映射$$\begin{array}{rl}\mathrm{Spec}A& \to \{\mathfrak{p}:\mathfrak{p}\text{为}A\text{中的素理想}\}\\ f& \mapsto \ker (f)\end{array}$$为一一对应.

证明.

证明. 若 $f:A\to k$ 为环同态且 $k$ 为域, 则根据域中极大理想为 $(0)$ 可知 $\ker (f)$ 必然为 $A$ 中的素理想. 而后设 $f^{\prime }:A\to k^{\prime }$, 由于域间的同态均为单射, 因此若以下图表交换, 则 $\ker (f)=\ker (f^{\prime })$, 因此验证了映射的良定性.
而后来说明双射, 只需要构建一个逆映射即可, 对于 $A$ 中的任意素理想 $\mathfrak{p}$ 由素理想定义可知 $A/\mathfrak{p}$ 是整环, 因此可知有典范单射$$A/\mathfrak{p}\hookrightarrow \mathrm{Frac}(A/\mathfrak{p})=\kappa (\mathfrak{p})$$如此, 考虑态射复合便得到环同态 $f_{\mathfrak{p}}A\to \kappa (\mathfrak{p})$. 并且有 $\ker (f_{\mathfrak{p}})=\mathfrak{p}$. 最后, 设 $f:A\to k$ 是任意环同态, $\mathfrak{p}=\ker (f)$ 为其核, 则具有以下分解这也就说明 $f_{\mathfrak{p}}$ 与 $f$ 是等价的, 因此得到良定的逆映射, 即映射为一一对应.

$\square$

注 1.3. 一般不认为 $(1)$ 是素理想.

这样我们就得到了通常意义下的素谱定义.

定义 1.4. 设 $A$ 为交换环, 则 $A$ 的素谱即为 $A$ 的全体素理想所构成的集合. 当我们取全体极大理想构成的集合时, 称为极大谱.

接下来举一些常见的例子

例 1.5.

1.	取 $A＝k$ 为域时, $\mathrm{Spec}k=\{(0)\}$ 为单点.
2.	$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}=\{(0),(p)\}$ 其中 $p$ 为素数.
3.	$\mathrm{Spec}k[t]=\{(0),(p)\}$ 其中 $p$ 为不可约多项式.
4.	(对偶数) $\mathrm{Spec}k[t]/(t^2)=\{(t)\}$, 此时由于不为整环从而 $(0)$ 不为素理想.

2$\mathrm{Spec}A$ 上的拓扑结构

注 2.1. 在本节中只讲述一部分拓扑性质, 至于剩下诸如不可约等拓扑性质在讲述不可约概形等内容时进行描绘.

在先前的讨论中, $\mathrm{Spec}A$ 都是作为集合而存在的, 现在, 我们需要研究 $\mathrm{Spec}A$ 上更多的结构 (以回答我们在最开始时的问题), 首先, 来研究其上的拓扑结构.
我们知道在经典代数几何中, 我们使用零点集来定义出 Zariski 拓扑, 那么在 $\mathrm{Spec}A$ 上, 我们是否可以依葫芦画瓢得到类似的结构呢? 我们发现, 对于 $f\in A$ 以及素理想 $\mathfrak{p}\subset A$, 若 $f\in \mathfrak{p}$, 则 $f\mathrm{mod}\mathfrak{p}=0$², 反之, 若 $f\notin \mathfrak{p}$ 则 $f\mathrm{mod}\mathfrak{p}\ne 0$. 而在素谱中, 点即为素理想, 因此可以说当 $f\notin \mathfrak{p}$ 时, $f$ 在 $\mathfrak{p}$ 点处的取值非 $0$. 这样也就可以顺理成章地推广出零点集这一概念.

定义 2.2. 令 $I$ 为 $A$ 的理想, 定义其零点集为$$V(I)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A:I\subset \mathfrak{p}\}$$对于 $f\in A$, $V(f)$ 表示 $V((f))$ , 定义 $f$ 的主开集为$$D(f)=\mathrm{Spec}A\setminus V(f)＝\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A:f\notin \mathfrak{p}\}$$

由零点集的定义不难看出具有反向的关系$$I\subset J\Rightarrow V(I)\supset V(J)$$

命题 2.3.

1.	将零点集视为闭集可以给出 $\mathrm{Spec}A$ 上的一个拓扑结构 (称为 Zariski 拓扑).
2.	$\{D(f):f\in A\}$ 构成了 Zariski 拓扑的一组基.

证明.

证明.

1.	不难验证 $V((0))=\mathrm{Spec}A$ 且 $V(1)=\varnothing$, 而后有 $V(I)\cup V(J)=V(IJ)$ 以及 ${\bigcap }_{i\in I}V(I_i)=V({\sum }_{i\in I}{I}_i)$. 因此确构成拓扑.
2.	现在验证 $\{D(f):f\in A\}$ 确实构成一组基, 假设 $U\subset A$ 为开子集且 $\mathfrak{p}\in U$, 由闭集的定义可知 $U=\mathrm{Spec}A\setminus V(I)$, 因此 $\mathfrak{p}\notin V(I)$ 即存在 $f\in I$ 使得 $f\notin \mathfrak{p}$ 即 $\mathfrak{p}\in D(f)$. 并且由于 $f\in I$ 可知 $D(f)\subset U$.

$\square$

注 2.4.

•	回忆到, 若 $I\subset A$ 为理想, 令 $\sqrt{I}$ 为其根理想, 则 $\sqrt{I}={\bigcap }_{I\subset \mathfrak{p}}\mathfrak{p}$3, 因此得到 $V(I)=V(\sqrt{I})$. 因此可以得到 $\sqrt{I}\subset \sqrt{J}\iff V(I)\supset V(J)$.
•	(闭点) 称单点集 $\{\mathfrak{p}\}$ 是闭的是指存在 $I\subset A$ 使得 $Z(I)=\{\mathfrak{p}\}$, 即 $\mathfrak{p}$ 为极大理想, 这也说明了 Zariski 拓扑并非 Hausdorff 的, 它不够好, 如果想在它上面做同调就需要额外引入开集 (覆盖), 这也就引出了景这一概念.

这个时候就可以将 $\mathrm{Spec}A$ 视为拓扑空间了, 称为仿射空间, 接下来举几个常见的例子

例 2.5.

1.	$A_k^1=\mathrm{Spec}k[t]$, 它上面具有三种点, 分别为 ∘ 一般点: $\eta =\{(0)\}$, 有 $\bar{\eta }=A_k^1$. ∘ 闭点: $(t-a)$ 其中 $a\in k$. ∘ $(\text{不可约多项式})$.
2.	$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$, 其上具有两种点, 分别为 ∘ 一般点:$\eta =\{(0)\}$. ∘ $(p)$ 其中 $p$ 为素数. 更一般地说, 一般点就是闭包为不可约分支的点, 在 $A$ 为整环时, $\eta =(0)\in \mathrm{Spec}A$ 为一般点即说 $\bar{\eta }=\mathrm{Spec}A$.
3.	$A_k^n=\mathrm{Spec}k[t_1,\cdots ,t_n]$, 若 $k=\bar{k}$. ∘ 根据 Hilbert 零点定理 (即 Nullstellensatz) 可知闭点均为 $(t_1-a_1,\cdots ,t_n-a_n)$ 的形式, 其中 $(a_1,\cdots ,a_n)\in k^n$. ∘ 一般点 $\xi =(0)\in A_k^n$. ∘ $(f)\in A_k^n$ 其中 $f$ 为不可约多项式, 此时 $(f)$ 其实可以视为曲线 $f(t_1,\cdots ,t_n)=0$ 的一般点 4.

命题 2.6. 令 $\phi :A\to B$ 为环同态, 它将诱导素谱间对应的映射$$\begin{array}{rl}{\phi }^a=\mathrm{Spec}\phi :\mathrm{Spec}B& \to \mathrm{Spec}A,\\ \mathfrak{p}& \mapsto {\phi }^{-1}(\mathfrak{p})\end{array}$$它是连续的.

证明.

证明. 令 $I\subset A$ 为理想, 只需要说明 $V(I)\subset \mathrm{Spec}A$ 有 $({\phi }^a{)}^{-1}(V(I))\subset \mathrm{Spec}B$ 是闭集即可.
断言 $({\phi }^a{)}^{-1}(V(I))=V(J)$ 其中 $J\subset B$ 为理想.
断言的证明是简单的, 对任意 $\mathfrak{p}\in ({\phi }^a{)}^{-1}(V(I))$ 有 $({\phi }^a)(\mathfrak{p})\in V(I)$ 即 ${\phi }^{-1}(\mathfrak{p})\in V(I)$ 根据零点集定义 $I\subset {\phi }^{-1}(\mathfrak{p})$ 等价于 $\forall x\in I$,$\phi (x)\in \mathfrak{p}$ 从而 $\phi (I)\subset \mathfrak{p}$ 这就推出结果.

$\square$

这样, 我们就可以研究素谱间对应映射的像以及其几何意义.

例 2.7.

1.	$I\subset A$ 为理想, 考虑商同态 $\phi :A\twoheadrightarrow A/I$, 这诱导反向的嵌入 ${\phi }^a:\mathrm{Spec}A/I\hookrightarrow \mathrm{Spec}A$, 且 $\mathrm{im}(g)=V(I)$, 且 $\mathrm{Spec}A/I$ 同胚于 $\mathrm{im}(g)$. 因此, 取 $A=k[t_1,\cdots ,t_n]$ 时 $A/(f)$ 的一般点即为 $f$ 所对应的曲线, 这就解释了前例中说为曲线上的一般点.
2.	对于 $f\in A$, 考虑乘性子集 $\{1,f,f^2,\cdots \}$, 以及 $A$ 对其的局部化 $A_f$ 可以得到典范态射 $\phi :A\to A_f$ 这诱导 ${\phi }^a:\mathrm{Spec}{A}_f\to \mathrm{Spec}A$ 而 $\mathrm{im}(g)=D(f)\subset \mathrm{Spec}A$.

注 2.8. 不难发现, 对于 $f,g\in A$ 若 $D(f)=D(g)$ 则 $A_f=A_g$. 这为后文定义概形提供了巨大便利.

既然理想可以对应为 Zariski 闭集, 那么 Zariski 闭集是否能对应为理想呢? 在经典代数几何中我们有以下的对应 ⁵$$\{k[t_1,\cdots ,t_n]\text{中}\mathfrak{a}\text{的根理想}\}\stackrel{I(V)\leftarrow V}{\underset{\mathfrak{a}\mapsto V(\mathfrak{a})}{\leftrightarrows }}\{V\subset A_n^k\text{为闭集}\}$$而 $I(V)={\bigcap }_{x\in V}{\mathfrak{m}}_x$. 接下来我们将其推广到素谱上.

命题 2.9. $\mathrm{Spec}A$ 中的闭集与 $A$ 中的根理想有由以下对应关系所定义的一一对应, $$V\mapsto I(V):=\bigcap _{\mathfrak{p}\in V}\mathfrak{p}$$其逆为 $\mathfrak{a}\mapsto V(\mathfrak{a})$

证明.

证明. 显然有 $\sqrt{\mathfrak{a}}\subset I(V(\mathfrak{a}))$ 而后证明反向的包含, 令 $f\in I(V(\mathfrak{a}))$ 且 $f\notin \sqrt{\mathfrak{a}}$, 取 $R=(A/\mathfrak{a}{)}_{\bar{f}}$, 其中 $\bar{f}$ 为 $f$ 在商映射下的像. 显然有 $R\ne 0$, 若不然, 则 ${\bar{f}}^m=0$ 推知 $f^m\in \mathfrak{a}$ 与 $f$ 的选取矛盾.
因此 $R\ne 0$, 可知至少存在一个极大理想 $\mathfrak{m}\in \mathrm{Spec}R$ 从而 $\mathrm{Spec}R\ne \varnothing$. 而后对于 $x\in \mathrm{Spec}R$ 以及 $y\in \mathrm{Spec}A$, 由于有以下交换图表从而对于所有 $g\in \mathfrak{a}$ 有 $g(y)$ 具有经过 $R$ 的分解, 从而 $g(y)=0$, 而这与 $f(y)=\bar{f}(x)\ne 0$ 矛盾.

$\square$

再来探讨一下拓扑方面的性质, 首先是拟紧.

定义 2.10. 令 $X$ 为拓扑空间, 若对 $X$ 的任一开覆盖 $\mathcal{U}$ 都存在有限子覆盖, 则称 $X$ 是拟紧的, 进一步, 若 $X$ 还是 Hausdorff 空间, 则 $X$ 是紧致的.

命题 2.11. 作为拓扑空间 $\mathrm{Spec}A$ 是拟紧的.

证明.

证明. 问题可以约化为考虑由基 $\{D(f_{\alpha }):\alpha \in \Lambda \}$ 所构成的开覆盖的情况, 不难得知 $\{D(f_{\alpha })\}$ 覆盖 $\mathrm{Spec}A$, 从而$$1\in \sum _{\alpha \in \Lambda }(f_{\alpha })$$由于代数运算的有限性可知存在 $f_1,\cdots ,f_n$ 使得$$1=\sum _{i=1}^n{c}_i{f}_i$$即给出了一个有限子覆盖, 因此 $\mathrm{Spec}A$ 是拟紧的.

$\square$

而由注记 2.4 可知 $\mathrm{Spec}A$ 并非紧空间.

现在我们已然讨论了诸多关于 $\mathrm{Spec}A$ 的拓扑性质, 而后我们问: 对于拓扑空间 $X$, 它在什么时候会是 $\mathrm{Spec}A$ 呢?

定理 2.12 (Hochster). 令 $X$ 为拓扑空间, 则以下条件等价

1.	存在 $A$ 使得 $X\simeq \mathrm{Spec}A$,
2.	$X$ 拟紧, 且具有一组拟紧开集构成的基 $\mathfrak{B}$, 它在有限交下是稳定的, 并且 $X$ 是清醒空间, 即 $X$ 中每个不可约闭集都具有唯一的一般点.
3.	$X$ 可以写为有限个 T0 空间的投射极限.

证明. 见 [1]

$\square$

此时, 尽管我们把 Zariski 拓扑的概念推广到了一般的交换环上, 但是它无法处理一些问题, 比如令 $k$ 为域, 我们没有办法区分 $\mathrm{Spec}k$ 与 $\mathrm{Spec}k[t]/(t^2)$ 或者说不同的域 $\mathrm{Spec}k$ 与 $\mathrm{Spec}{k}^{\prime }$, 这说明我们缺失了一些代数的信息以对它们进行区分.
因此需要一套语言去追踪每个点及其周围的代数信息, 并且合理地记录下来.
达到这一点的最优方法就是使用层论, 它也可以帮助我们去 “粘接” 不同的 $\mathrm{Spec}A$ 以得到概形.

脚注

1.	^ 使用这一定义的好处就是不直接与素理想产生联系, 而且可以更清晰地看到旧理论所摆放的位置, 但其实并没有本质上的区别.
2.	^ 不难发现, 若 $f$ 在每一点处均取 $0$ 即 $f$ 在幂零根中, 就有 $f$ 是幂零的. 而若 $f$ 处处不为 $0$ 则 $f$ 是可逆的.
3.	^ 即证 $A/I$ 的幂零根为全体包含 $I$ 的理想的交即可, 利用 Zorn 引理以及简单的交换代数知识即可得悉.
4.	^ 此时对应于 $\mathrm{Spec}k[t_1,\cdots ,t_n]/(f)$
5.	^ 由于在香蕉空间中貌似无法打出 mapsfrom, 使用 leftarrow 代替.

参考文献

[1]	Hochster, M. (1969). Prime ideal structure in commutative rings. Transactions of the American Mathematical Society, 142, 43-60.AMS.