等纤维自然变换

等纤维自然变换是一类自然变换, 把态射都变成拉回方块. 此概念由 Charles Rezk 提出, 主要用于讨论图表的余极限与拉回的交换性 (定理 4.1).

1定义

定义 1.1. 设 $I$、$\mathcal{C}$ 是范畴, $X,Y:I\to \mathcal{C}$ 是函子, $\tau :X\to Y$ 是自然变换. 称 $\tau$ 为等纤维, 或称其 Descartes, 指对 $I$ 中任一态射 $f:i\to j$, $\mathcal{C}$ 中图表$$X(i)X(j)Y(i)Y(j)X(f)\tau (i)\tau (j)Y(f)$$都是拉回方块.

2性质

以下两个命题显然.

命题 2.1. 设 $I$、$J$、$\mathcal{C}$ 是范畴, $X,Y:I\to \mathcal{C}$、$F:J\to I$ 是函子, $\tau :X\to Y$ 是自然变换. 如 $\tau$ 等纤维, 则 $F^{\ast }\tau :X\circ F\to Y\circ F$ 也等纤维.

命题 2.2. 设 $I$、$\mathcal{C}$ 是范畴, $X,Y,Z,W:I\to \mathcal{C}$ 是函子, 图表$$ZXWY\sigma \tau$$是函子范畴 $\mathsf{Fun}(I,\mathcal{C})$ 中的拉回方块. 如 $\tau$ 等纤维, 则 $\sigma$ 也等纤维.

由三拉回引理立得下面三个命题:

命题 2.3. 设 $I$、$\mathcal{C}$ 是范畴, $X,Y,Z:I\to \mathcal{C}$ 是函子, $\tau :X\to Y$、$\sigma :Y\to Z$ 是自然变换, $\sigma$ 等纤维. 则 $\tau$ 等纤维当且仅当 $\sigma \circ \tau$ 等纤维.

命题 2.4. 设 $I$、$\mathcal{C}$ 是范畴, $X,Y:I\to \mathcal{C}$ 是函子, $\tau :X\to Y$ 是自然变换. 设 $J$ 是 $I$ 中一些映射, 在有限复合下生成 $I$. 则只要对 $J$ 中映射 $f:i\to j$, 定义 1.1 中图表都是拉回方块, 就有 $\tau$ 是等纤维自然变换.

命题 2.5. 设 $I$、$\mathcal{C}$ 是范畴, $I$ 有终对象 $\ast$, $X,Y:I\to \mathcal{C}$ 是函子, $\tau :X\to Y$ 是自然变换. 则只要对 $I$ 中任一对象 $i$, 图表$$X(i)X(\ast )Y(i)Y(\ast )\tau (i)\tau (\ast )$$都是拉回方块, 就有 $\tau$ 是等纤维自然变换.

推论 2.6. 设 $\mathbb{\Delta }$ 是单形范畴, $\mathcal{C}$ 是范畴, $X,Y:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$ 是单纯对象, $\tau :X\to Y$ 是自然变换. 则只要对任一 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 以及任一面映射 $d_i$, $i=0,1,\dots ,n$, 图表$$X_n{X}_{n-1}{Y}_n{Y}_{n-1}{d}_i{\tau }_n{\tau }_{n-1}{d}_i$$都是拉回方块, 就有 $\tau$ 是等纤维自然变换.

证明. 由命题 2.4, 只需验证对任一 $n\in \mathbb{N}$ 以及任一退化映射 $s_i$, $i=0,1,\dots ,n$, 图表$$X_n{X}_{n+1}{Y}_n{Y}_{n+1}{s}_i{\tau }_n{\tau }_{n+1}{s}_i$$都是拉回方块. 为此对图表$$X_n{X}_{n+1}{X}_n{Y}_n{Y}_{n+1}{Y}_n{s}_i{\tau }_n{\tau }_{n+1}{d}_i{\tau }_n{s}_i{d}_i$$用三拉回引理即可, 因为 $d_i\circ s_i=\mathrm{id}$.

$\square$

3与直化的关系

以下范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴. 注意上面的内容也对 $(\infty ,1)$-范畴一字不差地成立.

对 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 以 $|\mathcal{C}|$ 表示 $\mathcal{C}$ 的几何实现, 即把 $\mathcal{C}$ 的所有映射逆掉得到的生象.

回顾局部常纤维范畴的定义与性质, 证明参见对应条目:

定义 3.1 (局部常纤维化). 称左纤维化 (即纤维都是生象的推出纤维化) $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 局部常, 指 $\mathcal{D}$ 中任一态射 $f:x\to y$ 在纤维上诱导的映射 $f_{!}:{\mathcal{C}}_x\to {\mathcal{C}}_y$ 都是同构, 换言之其直化 $\mathcal{D}\to \mathsf{Ani}$ 穿过 $|\mathcal{D}|$, 也即其可由 $|\mathcal{D}|$ 上的左纤维化拉回得到.

命题 3.2. 左纤维化 $p:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 局部常当且仅当$$\mathcal{C}|\mathcal{C}|\mathcal{D}|\mathcal{D}|p|p|$$是范畴的拉回方块. 此时如$$\mathcal{C}C\mathcal{D}|\mathcal{D}|p\bar{p}$$是范畴的拉回方块, 则 $(C,\bar{p})=(|\mathcal{C}|,|p|)$.

回忆左纤维化有类似三拉回引理的性质: 对函子 $p:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 和左纤维化 $q:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$, $p$ 是左纤维化当且仅当 $q\circ p$ 是左纤维化.

定理 3.3. 设 $I$ 是范畴, $X,Y:I\to \mathsf{Ani}$ 是函子, 左纤维化 $\mathcal{X}\to I$、$\mathcal{Y}\to I$ 是其反直化. 设 $\tau :X\to Y$ 是自然变换, 那么其反直化 $\mathrm{Un}(\tau ):\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ 也是左纤维化. 则 $\tau$ 等纤维当且仅当 $\mathrm{Un}(\tau )$ 局部常.

证明. 任取 $\mathcal{Y}$ 中态射, 依反直化的构造这对应于 $I$ 中态射 $f:i\to j$ 与点 $y_i\in Y(i)$, 被 $Y(f)$ 打到 $y_j\in Y(j)$, 也就是图表$$\ast \ast Y(i)Y(j)y_i{y}_{j}Y(f)$$注意 $\mathrm{Un}(\tau ):\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ 在 $(Y(i),y_i)$ 的纤维是 $X(i){\times }_{Y(i)}\ast$, 在 $(Y(j),y_j)$ 的纤维是 $X(j){\times }_{Y(j)}\ast$, 沿上述态射的前推是图表$$X(i){\times }_{Y(i)}\ast X(j){\times }_{Y(j)}\ast \ast \ast X(i)X(j)Y(i)Y(j)X(f){\times }_{Y(f)}\ast y_i{y}_{j}X(f)\tau (i)\tau (j)Y(f)$$最上方的映射 $X(f){\times }_{Y(f)}\ast$. 于是 $\mathrm{Un}(\tau )$ 局部常等价于所有映射 $X(f){\times }_{Y(f)}\ast$ 都是同构, 也就等价于 $\tau$ 等纤维.

$\square$

回忆对 $X:I\to \mathsf{Ani}$ 有 ${\mathrm{colim}}_{I}X=|\mathrm{Un}(X)|$, 以下推论就是显然的.

推论 3.4. 设 $I$ 是范畴, $I^{▹}$ 是其右锥, 以 $\infty$ 记其锥点. 设 $X^{▹},Y^{▹}:I^{▹}\to \mathsf{Ani}$ 是函子, ${\tau }^{▹}:X^{▹}\to Y^{▹}$ 是自然变换, 并以 $X$、$Y$、$\tau$ 记它们在 $I\subset I^{▹}$ 的限制. 设 $\tau$ 等纤维, $Y^{▹}$ 是余极限图表. 则 $X^{▹}$ 是余极限图表当且仅当$$\mathrm{Un}(X)X(\infty )\mathrm{Un}(Y)Y(\infty )\mathrm{Un}(\tau )\tau (\infty )$$是范畴的拉回图表, 这里 $X(\infty )$ 表示 $X^{▹}(\infty )$, $\mathrm{Un}(X)\to X(\infty )$ 是复合映射$$\mathrm{Un}(X)\to |\mathrm{Un}(X)|=\underset{I}{\mathrm{colim}}X\to X(\infty ),$$余类似.

4与余极限的关系

本节仍然约定: 范畴指 $(\infty ,1)$-范畴, 意象指 $(\infty ,1)$-意象.

定理 4.1 (Rezk 等纤维判别). 设 $I$ 是范畴, $X,Y,Z,W:I\to \mathsf{Ani}$ 是函子, $$ZXWY\sigma \tau$$是函子范畴 $\mathsf{Fun}(I,\mathsf{Ani})$ 中的拉回方块. 如 $\tau$ 等纤维, 则图表$${\mathrm{colim}}_{I}Z{\mathrm{colim}}_{I}X{\mathrm{colim}}_{I}W{\mathrm{colim}}_{I}Y{\mathrm{colim}}_I\sigma {\mathrm{colim}}_I\tau$$是生象的拉回方块.

证明. 作右锥 $I^{▹}$, 并记锥点为 $\infty$. 把 $X,Y,Z,W:I\to \mathsf{Ani}$ 延拓为 $X^{▹},Y^{▹},Z^{▹},W^{▹}:I^{▹}\to \mathsf{Ani}$, 使得 $X^{▹}$、$Y^{▹}$、$W^{▹}$ 为余极限图表, 而 $Z^{▹}$ 为它仨的拉回. 我们需要证明 $Z^{▹}$ 也是余极限图表. 为此考虑范畴的交换图表$$\mathrm{Un}(Z)\mathrm{Un}(X)Z(\infty )X(\infty )\mathrm{Un}(W)\mathrm{Un}(Y)W(\infty )Y(\infty )\mathrm{Un}(\sigma )\mathrm{Un}(\tau )\sigma (\infty )\tau (\infty )$$记号同推论 3.4. 图表的正面显然是拉回; 由反直化保持拉回, 背面也是拉回; 由推论 3.4, 右面是拉回; 故由三拉回引理, 左面也是拉回, 再用一次推论 3.4 即得欲证, 因 $\sigma$ 等纤维 (命题 2.2).

$\square$

注 4.2. 事实上定理 4.1 对一般的意象而不只是生象范畴 $\mathsf{Ani}$ 成立: 首先由于预层的极限和余极限都逐截面计算, 可知定理 4.1 对预层意象成立; 对一般的意象 $\mathcal{C}$, 可取预层意象 $\mathsf{P}({\mathcal{C}}_0)$ 以及几何态射 $f:\mathcal{C}\to \mathsf{P}({\mathcal{C}}_0)$ 使得 $f^{\ast }{f}_{\ast }={\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}$, 然后对 $\mathcal{C}$ 中拉回图表$$ZXWY\sigma \tau$$做 $f_{\ast }$; 由于 $f^{\ast }$ 保持任意余极限和有限极限, 一般情形便化归到预层情形.

5相关概念

•	Quillen 定理 B

术语翻译

等纤维自然变换 • 英文 equifibred natural transformation • 美式英文 equifibered natural transformation