终对象

在范畴论中, 终对象是范畴中的一个特殊的对象, 任何别的对象到它都有唯一的态射. 例如, 任何集合到单点集都有唯一的映射, 故单点集是集合范畴的终对象. 因此, 一般范畴中的终对象也常常记为 $\ast$.

终对象是 $0$ 个对象的积, 也是空极限. 例如, 在集合范畴中, $0$ 个集合的积就是单点集 $\ast$.

终对象的对偶概念是始对象.

1定义

定义 1.1 (终对象). 范畴 $\mathcal{C}$ 中的终对象是指对象 $\ast \in \mathcal{C}$, 满足以下万有性质:

•	对任意 $x\in \mathcal{C}$, 存在唯一的态射 $x\to \ast$.

终对象不一定存在, 但如果存在, 则在同构意义下唯一.

2例子

•	集合范畴的终对象是单点集 $\ast$.

•	拓扑空间范畴的终对象是单点空间 $\ast$.

•	群范畴的终对象是平凡群, 这也是零对象.

•	环范畴的终对象是零环.

•	向量空间范畴的终对象是零向量空间, 这也是零对象.

3性质

4相关概念

术语翻译

终对象 • 英文 final object • 德文 Endobjekt (n) • 法文 objet final (m)