行列式

行列式是一个函数, 给定一个方阵, 能得到一个标量. 方阵 $A$ 的行列式通常记作 $\det A$ 或 $|A|$.

对于实 $n\times n$ 矩阵而言, 行列式可以看作它的 $n$ 个列向量在 ${\mathbb{R}}^n$ 中张成的平行 $2n$ 胞体的有向体积. 例如, $n=2$ 的情况就是平行四边形的有向面积.

1定义

通过展开式

定义 1.1 (行列式). 设 $R$ 是交换环, $A=(a_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵. 则 $A$ 的行列式定义为$$\det A=\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_n}(-1{)}^{\sigma }{a}_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)},$$其中 ${\mathfrak{S}}_n$ 是 $n$ 元置换群, $(-1{)}^{\sigma }$ 是 $\sigma$ 的符号 (偶置换为 $+1$, 奇置换为 $-1$).

通过递归

定义 1.2 (行列式). 设 $R$ 是交换环, $A=(a_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵. 则 $A$ 的行列式定义为$$\det A=\{\begin{array}{ll}{a}_{1,1},& n=1;\\ \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}{a}_{i,1}\det A(i|1),& n\ge 2,\end{array}$$其中 $A(i|j)$ 是删去 $A$ 的行 $i$ 与列 $j$ 后, 未被删去的元按原次序作成的 $(n-1)\times (n-1)$ 矩阵.

通过反对称积

定义 1.3 (行列式). 设 $\mathbb{k}$ 是域, $V$ 是 $\mathbb{k}$ 上的 $n$ 维向量空间, $f:V\to V$ 是线性映射. 则 $f$ 的行列式定义为$$\det f={\Lambda }^n(f):{\Lambda }^n(V)\to {\Lambda }^n(V),$$这里 ${\Lambda }^n(V)$ 是 $V$ 的 $n$ 次反对称积, 它是 $1$ 维向量空间, 从而 ${\Lambda }^n(f)$ 可以看作 $\mathbb{k}$ 的元素.

通过公理

定义 1.4 (行列式). 设 $\mathbb{k}$ 是域, $M_n(\mathbb{k})$ 是 $\mathbb{k}$ 上的 $n$ 阶方阵构成的代数. 则行列式定义为满足下面三个公理的唯一函数 $\det :M_n(\mathbb{k})\to \mathbb{k}$:

•	$\det (A_1,\dots ,c{A}_k,\dots ,A_n)=c\det (A_1,\dots ,A_k,\dots ,A_n),c\in \mathbb{k}$. 这里 $A_1,\dots ,A_n$ 分别表示 $M_n(\mathbb{k})$ 中矩阵的第 1 行至第 $n$ 行, 下同;
•	$\det (A_1,\dots ,A_i,\dots ,A_j,\dots ,A_n)=\det (A_1,\dots ,A_i+A_j,\dots ,A_j,\dots ,A_n)$;
•	$\det (I)=1$, $I$ 是单位矩阵.

2性质

定理 2.1. 设 $R$ 是交换环, $A=(a_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵. 则$$\det A^{\mathrm{T}}=\det A,$$其中 $A^{\mathrm{T}}$ 是 $A$ 的转置. 于是, 行列式的关于矩阵的列 (行) 的定理可被易地, 快地译为行列式的关于矩阵的行 (列) 的定理.

定理 2.2. 设 $R$ 是交换环, $A=(a_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵, $\tau \in \mathfrak{S}$. 则$$\det A=\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_n}(-1{)}^{\tau }(-1{)}^{\sigma }{a}_{\tau (1),\sigma (1)}\cdots a_{\tau (n),\sigma (n)},$$且$$\det A=\sum _{\sigma \in {\mathfrak{S}}_n}(-1{)}^{\sigma }(-1{)}^{\tau }{a}_{\sigma (1),\tau (1)}\cdots a_{\sigma (n),\tau (n)}.$$

定理 2.3. 设 $R$ 是交换环, $A=(a_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵, $\ell$ 是不超过 $n$ 的正整数. 则$$\det A=\{\begin{array}{ll}{a}_{1,1},& n=1;\\ \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+\ell }{a}_{i,\ell }\det A(i|\ell ),& n\ge 2,\end{array}$$且$$\det A=\{\begin{array}{ll}{a}_{1,1},& n=1;\\ \sum _{j=1}^n(-1{)}^{\ell +j}{a}_{\ell ,j}\det A(\ell |j),& n\ge 2.\end{array}$$

定理 2.4. 设 $R$ 是交换环, $A=(a_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵, $k$ 是小于 $n$ 的正整数, ${\ell }_1$, ${\ell }_2$, $\dots$, ${\ell }_k$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 ${\ell }_1<{\ell }_2<\cdots <{\ell }_k$. 则$$\det A=\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}(-1{)}^{i_1+\cdots +i_k+{\ell }_1+\cdots +{\ell }_k}\det A(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_k}{{\ell }_1,\dots ,{\ell }_k})\det A(i_1,\dots ,i_k|{\ell }_1,\dots ,{\ell }_k),$$且$$\det A=\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n}(-1{)}^{{\ell }_1+\cdots +{\ell }_k+j_1+\cdots +j_k}\det A(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\ell }_1,\dots ,{\ell }_k}{j_1,\dots ,j_k})\det A({\ell }_1,\dots ,{\ell }_k|j_1,\dots ,j_k),$$其中 $A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_k}{j_1,\dots ,j_k}\right)$ 是由 $A$ 的行 $i_1$, $\dots$, $i_k$ 与列 $j_1$, $\dots$, $j_k$ 的交叉处的元按原次序作成的 $k\times k$ 矩阵 (子矩阵), 且 $A(i_1,\dots ,i_k|j_1,\dots ,j_k)$ 是删去 $A$ 的行 $i_1$, $\dots$, $i_k$ 与列 $j_1$, $\dots$, $j_k$ 后, 未被删去的元按原次序作成的 $(n-k)\times (n-k)$ 矩阵.

定理 2.5. 设 $R$ 是交换环, $A=(a_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $s\times n$ 矩阵, $B=(b_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $m\times s$ 矩阵. 设 $k$ 是一个既不超过 $m$, 也不超过 $n$ 的正整数. 设 $1\le i_1<\cdots <i_k\le m$; 设 $1\le j_1<\cdots <j_k\le n$.

•	若 $k>s$, 则 $B$ 与 $A$ 的积 $BA$ 的子矩阵 $(BA)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_k}{j_1,\dots ,j_k}\right)$ 的行列式$$\det \left((BA)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_k}{j_1,\dots ,j_k}\right)\right)=0.$$
•	若 $k\le s$, 则$$\det \left((BA)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_k}{j_1,\dots ,j_k}\right)\right)=\sum _{1\le {\ell }_1<\cdots <{\ell }_k\le s}\det B\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_k}{{\ell }_1,\dots ,{\ell }_k}\right)\det A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\ell }_1,\dots ,{\ell }_k}{j_1,\dots ,j_k}\right).$$

特别地, 设 $A$, $B$ 都是 $n\times n$ 矩阵. 则$$\det BA=(\det B)(\det A).$$

定理 2.6. 设 $R$ 是交换环, $A=(a_{i,j})$ 是 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵. 作 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵 $\mathrm{adj}A=(b_{i,j})$, 使 $b_{i,j}=(-1{)}^{j+i}\det A(j|i)$. 则$$(\mathrm{adj}A)A=(\det A)I=A(\mathrm{adj}A).$$

定理 2.7. 设 $R$ 是交换环, $M_n(R)$ 是 $R$ 上的 $n$ 级方阵环. 设函数 $f:M_n(R)\to R$ 适合:

•	$f(A_1,\dots ,c{A}_k+c^{\prime }{A}_k^{\prime },\dots ,A_n)=cf(A_1,\dots ,A_k,\dots ,A_n)+c^{\prime }f(A_1,\dots ,A_k^{\prime },\dots ,A_n)$, 其中 $A_1$, $\dots$, $A_n$ 分别表示 $M_n(R)$ 中矩阵的行 $1$ 至行 $n$;
•	若 $A\in M_n(R)$ 有二行相同, 则 $f(A)=0$.

则 $f(A)=f(I)\det A$, 对任何 $A\in M_n(R)$.

特别地, 若 $f(I)=1$, 则 $f(A)=\det A$.

定理 2.8. 设 $\mathbb{k}$ 是域. 设函数 $f:M_n(\mathbb{k})\to \mathbb{k}$ 适合:

•	$f(AB)=f(A)f(B)$, 对任何 $A$, $B\in M_n(\mathbb{k})$;
•	$f(D)=d_{1,1}{d}_{2,2}\dots d_{n,n}$, 其中 $D=(d_{i,j})\in M_n(\mathbb{k})$ 是对角阵.

则 $f(A)=\det A$, 对任何 $A\in M_n(\mathbb{k})$.

定理 2.9. 设 $R$ 是交换环, $B$, $D$ 是 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵, 且 $D$ 是对角阵. 则$$\det (B+D)=\det D+\sum _{k=1}^{n-1}\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n}\det B\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j_1,\dots ,j_k}{j_1,\dots ,j_k}\right)\det D(j_1,\dots ,j_k|j_1,\dots ,j_k)+\det B.$$特别地, 取 $D=xI$, $B=-A$, 有$$\det (xI-A)=\sum _{k=0}^n{c}_k{x}^{n-k},$$其中 $c_0=1$, 且 $1\le k\le n$ 时, $$c_k=(-1{)}^k\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n}\det A(\genfrac{}{}{0ex}{}{j_1,\dots ,j_k}{j_1,\dots ,j_k}).$$

定理 2.10. 假定与记号如定理 2.9. 则$$\mathrm{adj}A=(-1{)}^{n-1}(c_0{A}^{n-1}+c_1{A}^{n-2}+\cdots +c_{n-1}I),$$且$$c_0{A}^n+c_1{A}^{n-1}+\cdots +c_{n-1}A+c_{n}I=0.$$

3参考文献

•	David S. Dummit, Richard M. Foote (2004). Abstract algebra, vol. 3. Wiley.

•

讲义: 行列式入门

4相关概念

术语翻译

行列式 • 英文 determinant • 德文 Determinante (f) • 世界语 determinanto • 法文 déterminant (m)