共尾 (∞,1)-函子

共尾 $(\infty ,1)$-函子是共尾函子在 $(\infty ,1)$-范畴中的推广.

1定义

定义 1.1 (共尾函子、共首函子). 对 $(\infty ,1)$-函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$,

•	称 $f$ 共尾, 是指对于任意右纤维化 $g:\tilde{\mathcal{D}}\to \mathcal{D}$, 与 $f$ 复合给出生象的等价$${\mathsf{Fun}}_{/\mathcal{D}}(\mathcal{D},\tilde{\mathcal{D}})\simeq {\mathsf{Fun}}_{/\mathcal{D}}(\mathcal{C},\tilde{\mathcal{D}}),$$这里 ${\mathsf{Fun}}_{/\mathcal{D}}(-,-)$ 指相对函子范畴.

•	称 $f$ 共首, 是指对于任意左纤维化 $g:\tilde{\mathcal{D}}\to \mathcal{D}$, 与 $f$ 复合给出生象的等价$${\mathsf{Fun}}_{/\mathcal{D}}(\mathcal{D},\tilde{\mathcal{D}})\simeq {\mathsf{Fun}}_{/\mathcal{D}}(\mathcal{C},\tilde{\mathcal{D}}).$$

注 1.2 (术语). 在 [Lurie 2018], Lurie 将共尾称为右共尾, 而共首称为左共尾.

2性质

命题 2.1 (共尾函子为弱同伦等价). 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $(\infty ,1)$-函子, 则:

•	若 $F$ 共首或共尾, 则 $F$ 为弱同伦等价.
•	若 $F$ 为弱同伦等价且 $\mathcal{D}$ 为生象, 则 $F$ 共首且共尾.

证明. [Lurie 2018, 02N5].

$\square$

命题 2.2 (共尾函子在复合下稳定). 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 以及 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$ 为 $(\infty ,1)$-函子, 且 $F$ 为共尾 (共首) 函子, 则 $G$ 为共尾 (共首) 函子当且仅当 $G\circ F$ 为共尾 (共首) 函子. 特别地, 一族共尾 (共首) 函子的复合仍为共尾 (共首的).

证明. 利用同伦等价作为弱等价的三选二性质即可.

$\square$

命题 2.3 (局部化函子共尾且共首). 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, 且 $W$ 为 $\mathcal{C}$ 中的一族边. 则局部化函子 $\mathcal{C}\to \mathcal{C}[W^{-1}]$ 是共尾且共首的.

证明. [Lurie 2018, 02N9].

$\square$

命题 2.4. $(\infty ,1)$-范畴之间的范畴等价共尾且共首.

命题 2.5. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $(\infty ,1)$-函子, 则以下条件等价:

1.	$F$ 共尾且为右纤维化.
2.	$F$ 共首且为左纤维化.
3.	$F$ 为平凡 Kan 纤维化.

证明. [Lurie 2018, 02ND]

$\square$

命题 2.6. 令 $\alpha :\mathcal{I}\to \mathcal{J}$ 则以下条件等价:

1.	$\alpha$ 是共首函子,
2.	对任意 $(\infty ,1)$-函子 $F:\mathcal{J}\to \mathcal{C}$ 都有 ∘ $F$ 的极限存在当且仅当 $F\circ \alpha$ 的极限存在. ∘ 态射 ${\lim }_{\mathcal{J}}F\to {\lim }_{\mathcal{I}}(F\circ \alpha )$ 是可逆的.

对偶地, 可以得到共尾情况.

3参考资料

•	Jacob Lurie (2018). Kerodon.

4相关概念

•	Quillen 定理 A
•	$(\infty ,1)$-极限

术语翻译

共尾 • 英文 cofinal

共首 • 英文 coinitial