区分元

范畴论中, 区分元, 或称生成元, 指的是能够区分不同态射的一个或一族对象.

1定义

定义 1.1. 称范畴 $\mathcal{C}$ 中一族对象 $\{c_i{\}}_{i\in I}$ 是 $\mathcal{C}$ 的区分元, 指的是对任意对象 $x,y\in \mathcal{C}$ 以及任意态射 $f,g:x\to y$, 如 $f\ne g$, 就存在 $i\in I$ 以及 $h:c_i\to x$, 使得 $f\circ h\ne g\circ h$. 如族中只有一个对象 $c$, 也称 $c$ 为 $\mathcal{C}$ 的区分元. 对偶的概念称为余区分元; 换言之, $\mathcal{C}$ 的余区分元就是 ${\mathcal{C}}^{\text{op}}$ 的区分元.

2性质

以下定理说明 “生成元” 也是合理的术语.

定理 2.1. 设 $\mathcal{C}$ 是可表现范畴, $\{c_i{\}}_{i\in I}$ 是其区分元. 则 $\{c_i{\}}_{i\in I}$ 在余极限下生成 $\mathcal{C}$, 即 $\mathcal{C}$ 中每个对象都是 $\{c_i{\}}_{i\in I}$ 的某个余极限.

3例子

•	一元集是集合范畴的区分元.
•	$\mathbb{Z}$ 是群范畴和交换群范畴的区分元.
•	$\mathbb{Z}[x]$ 是交换环范畴的区分元.
•	对环 $R$, 秩 $1$ 自由模 $R$ 是 $R$-模范畴的区分元.
•	以上几例可概括为: 如 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 是范畴, $F:\mathcal{C}\rightleftarrows \mathcal{D}:G$ 是伴随对, $G$ 在映射集上是单射, 则 $F$ 把区分元映到区分元. 由伴随函子和区分元的定义容易看出此事.
•	对于集合范畴, $\{0,1\}$ 是余区分元.
•	设 $\mathcal{C}$ 是小范畴, $\mathsf{P}(\mathcal{C})=\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\text{op}},\mathsf{Set})$ 是 $\mathcal{C}$ 上预层的范畴. 则由 Yoneda 引理容易看出, $\{h_c{\}}_{c\in \mathcal{C}}$ 是 $\mathsf{P}(\mathcal{C})$ 的一族区分元.
•	设 $\mathcal{C}$ 是景, $\mathsf{Sh}(\mathcal{C})$ 是其层范畴. 则由以上两例, 利用层到预层的忘却函子为全忠实, 容易看出 Yoneda 预层的层化 $\{h_c^{\#}{\}}_{c\in \mathcal{C}}$ 是 $\mathsf{Sh}(\mathcal{C})$ 的一族区分元.

4相关概念

•	生成元
•	Grothendieck Abel 范畴
•	拓扑基

术语翻译

区分元 • 英文 separator