晶格

关于其它含义, 请参见 “格 (多义词)”.

晶格, 简称格, 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上同构于 ${\mathbb{Z}}^n$ 且离散的一类子群, 在数论, 群论与 Lie 理论中有重要应用. 由于一些格问题的计算复杂性, 其与密码学也密切相关. 在材料科学与固态物理中, 它是晶体结构的框架.

1定义

定义 1.1 (晶格). 对 $n$ 维实向量空间 $V$ , $V$ 中的晶格 $\Gamma$ 是由 $n$ 个线性无关的向量 $v_1,\dots ,v_n$ 生成的子群$$\Gamma =\mathbb{Z}{v}_1+\cdots +\mathbb{Z}{v}_n.$$其中 $v_1,\dots ,v_m$ 称为格 $\Gamma$ 的基, 集合$$\Phi =\{x_1{v}_1+\cdots +x_n{v}_n\mid x_i\in \mathbb{R},0\le x_i<1\}$$称为 $\Gamma$ 的基本域.

直观上, 晶格就是用规则的瓷砖 (基本域) 平铺整个空间. 如赋予 $V$ 内积结构 $⟨-,-⟩$ , 则可以定义晶格的余体积, 即基本域的体积.

定义 1.2 (余体积). 晶格 $\Gamma$ 的余体积 $d(\Gamma )$ 是 $\Phi$ 的测度, 计算可得$$d(\Gamma )={\left|\det (⟨v_i,v_j⟩)\right|}^{1/2}.$$

Minkowski 定理将 $d(\Gamma )$ 与中心对称凸集 $S$ 的体积, 同 $S$ 中所含格点的个数联系起来.

2性质

不同的向量组有可能给出相同的格, 两组向量 $v_1,\dots ,v_n$ 与 $v_1^{\prime },\dots ,v_m^{\prime }$ 张成相同的格, 当且仅当它们的转移矩阵 $T\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$. 如下性质给出了格的不依赖于基的刻画.

命题 2.1. $V$ 的子群 $\Gamma$ 是格, 当且仅当 $\Gamma$ 离散且 $V/\Gamma$ 紧.

证明. 若 $\Gamma$ 是格, 将基本区域中心平移到原点, 其内部即为原点与其余点不交的开邻域.

若 $\Gamma$ 为离散子群, 则由于 Hausdorff 拓扑群的局部紧子群是闭子群, $\Gamma$ 为闭集. 设 $V_0$ 为 $\Gamma$ 张成的子空间, 维数为 $m$. 取 $u_1,\dots ,u_m\in \Gamma$ 为 $V_0$ 的基, 考虑完备格$${\Gamma }_0=\mathbb{Z}{u}_1+\cdots +\mathbb{Z}{u}_m\subseteq \Gamma ,$$则指数 $(\Gamma :{\Gamma }_0)$ 有限, 因为 $\Gamma /{\Gamma }_0\subseteq V_0/{\Gamma }_0$ 是环面上的离散闭子集. 根据有限生成 Abel 群分类定理, $\Gamma$ 是秩为 $m$ 的自由 Abel 群, 其 $\mathbb{Z}$-基也是 $\mathbb{R}$ 线性无关的, 因为它们张成了 $V_0$ .

$\square$

3分类

如赋予向量空间 $V$ 内积结构, 可以考虑晶格 $\Gamma$ 的等距同构群, 并按照此对称性分类.

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术语翻译

晶格 • 英文 lattice • 德文 Gitter (n) • 法文 réseau (m)