晶格

关于其它含义, 请参见 “格 (多义词)”.

晶格, 简称格, 是 $\mathbb{R}$ 上向量空间的一类特殊子群, 在数论, 群论与 Lie 代数中有重要应用. 由于一些格问题的计算复杂性, 其与密码学也密切相关. 在材料科学与固态物理中, 它是晶体结构的框架.

1定义

对 $n$ 维实向量空间 $V$ , $V$ 中的晶格 $\Gamma$ 是由 $m\le n$ 个线性无关的向量 $v_1,\dots ,v_m$ 生成的子群$$\Gamma =\mathbb{Z}{v}_1+\cdots +\mathbb{Z}{v}_m.$$其中 $v_1,\dots ,v_m$ 称为格 $\Gamma$ 的基, 集合$$\Phi =\{x_1{v}_1+\cdots +x_m{v}_m\mid x_i\in \mathbb{R},0\le x_i<1\}$$称为 $\Gamma$ 的基本区域. $\Gamma$ 称为完备的, 如果 $m=n$.

2性质

命题 2.1. 对于 $V$ 中的格 $\Gamma$, 以下四者等价:

•	$\Gamma$ 是完备格,
•	基本域的平移 $\Phi +\gamma ,\gamma \in \Gamma$ 覆盖了全空间 $V$,
•	存在有界集 $M\subseteq V$ 使得所有平移 $M+\gamma ,\gamma \in \Gamma$ 覆盖了全空间 $V$,
•	$V/\Gamma$ 是紧集 (环面).

直观上, 完备格就是用规则的瓷砖 (基本区域) 平铺整个空间.

以上对格的定义依赖于对基向量的选取, 但不同的向量组有可能给出相同的格, 事实上, 两组向量 $v_1,\dots ,v_m$ 与 $v_1^{\prime },\dots ,v_m^{\prime }$ 张成相同的格, 当且仅当它们张成相同的向量空间, 并且转移矩阵 $T\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$. 如下性质给出了格的不依赖于基的刻画.

命题 2.2. $V$ 的子群 $\Gamma$ 是格, 当且仅当 $\Gamma$ 是离散的.

证明. 若 $\Gamma$ 是格, 将基本区域中心平移到原点, 其内部即为原点与其余点不交的开邻域.

若 $\Gamma$ 为离散子群, 则由于 Hausdorff 拓扑群的局部紧子群是闭子群, $\Gamma$ 为闭集. 设 $V_0$ 为 $\Gamma$ 张成的子空间, 维数为 $m$. 取 $u_1,\dots ,u_m\in \Gamma$ 为 $V_0$ 的基, 考虑完备格$${\Gamma }_0=\mathbb{Z}{u}_1+\cdots +\mathbb{Z}{u}_m\subseteq \Gamma ,$$则指数 $(\Gamma :{\Gamma }_0)$ 有限, 因为 $\Gamma /{\Gamma }_0\subseteq V_0/{\Gamma }_0$ 是环面上的离散闭子集. 根据有限生成 Abel 群分类定理, $\Gamma$ 是秩为 $m$ 的自由 Abel 群, 其 $\mathbb{Z}$-基也是 $\mathbb{R}$ 线性无关的, 因为它们张成了 $V_0$ .

$\square$

3体积

设 $n$ 维实向量空间 $V$ 上有内积$$⟨,⟩:V\times V⟶\mathbb{R},$$则 $V$ 上可以定义体积, 区域$$\Phi =\{x_1{v}_1+\cdots +x_n{v}_n\mid x_i\in \mathbb{R},0\le x_i<1\}$$的体积为$$\mathrm{vol}(\Phi )={\left|\det (⟨v_i,v_j⟩)\right|}^{1/2}.$$若 $\Phi$ 为格 $\Gamma$ 的基本域, 我们记 $d(\Gamma )=\mathrm{vol}(\Phi )$, 称为 $\Gamma$ 的余体积. 如果余体积为 $1$, $\Gamma$ 被称作单模的.

Minkowski 定理将 $d(\Gamma )$ 与中心对称凸集 $S$ 的体积, 同 $S$ 中所含格点的个数联系起来.

术语翻译

晶格 • 英文 lattice • 德文 Gitter (n) • 法文 réseau (m)