圈复形

约定. 在本文中,

• 所有概形都指拟紧拟分离概形.
• 对概形 $S$, 以 ${\mathsf{Sm}}_S$ 记其上光滑概形构成的范畴.

代数簇的圈复形是其上仿射空间中的代数圈依特定限制映射构成的链复形, 是周群的推广, 故其同调群称为高阶周群. 它由 Spencer Bloch 首先引入, 尔后由 Marc Levine 从域上推广到 Dedekind 环上.

圈复形给出域和 Dedekind 环上母题上同调的一种定义, 其好处是便于与显式不变量如 Milnor $K$ 理论作比较.

1定义

对 $n\in \mathbb{N}$, 考虑代数标准单形 ${\Delta }^n=\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[x_0,\dots ,x_n]/({\sum }_{i=0}^n{x}_i-1))$. 显然 $[n]\mapsto {\Delta }^n$ 给出函子 $\mathbb{\Delta }\to {\mathsf{Sm}}_{\mathbb{Z}}$, 其中 $\mathbb{\Delta }$ 指单形范畴. 对概形 $X$, 记 ${\Delta }_X^n={\Delta }^n\times X$.

设 $X$ 是 Noether、万有悬链、有维数函数的概形.

定义 1.1 (圈复形). 对 $n,i\in \mathbb{N}$, 以 $z^i(X,n)$ 记 ${\Delta }_X^n$ 的余 $i$ 维代数圈中与所有的 $m$ 维面有好相交者自由生成的 $\mathbb{Z}$-模. 换言之, $$z^i(X,n)=\mathbb{Z}\{余i维整闭子概形Z\subseteq {\Delta }_X^n\mid \forall [m]\hookrightarrow [n],Z\cap {\Delta }_X^m在{\Delta }_X^m中余i维\}.$$好相交条件保证了 $z^i(X,n)$ 关于 $n$ 构成单纯对象, 其按 Dold–Kan 等价对应的链复形称为 $X$ 的余 $i$ 维圈复形, 记作 $z^i(X)$. 其第 $n$ 个同调称为 $X$ 的第 $n$ 个余 $i$ 维高阶周群, 记作 ${\mathrm{CH}}^i(X,n).$

注 1.2. 虽然定义 1.1 很一般, 但它只对域上光滑概形有良好表现.

注 1.3. 依定义, ${\mathrm{CH}}^i(X,0)={\mathrm{CH}}^i(X)$ 为周群.

2性质

函子性

(要用参考文献中的移动引理.)

${\mathbb{A}}^1$-不变性

移送映射

3与母题上同调的关系

设 $S$ 是正则 Noether 概形, 维数不超过 $1$. 把 $z^i$ 视为 ${\mathsf{Sm}}_S$ 上带转送映射的 $\mathsf{D}(\mathbb{Z})$-值预层, 以 $\mathbb{Z}(i{)}^{\mathrm{Bloch}}[2i]$ 记其 Zariski 层化.

注 3.1. $\dim (S)=0$ 时 $z^i$ 已经是层, $\mathbb{Z}(i{)}^{\mathrm{Bloch}}[2i]=z^i$.

定理 3.2 (Levine, Spitzweck). $\mathbb{Z}(i{)}^{\mathrm{Bloch}}$ 表示母题上同调.

4参考文献

•	Marc Levine (2006). “Chow’s Moving Lemma and the Homotopy Coniveau Tower”. $K$-Theory 37 (1-2), 129–209. (doi)

5相关概念

术语翻译

圈复形 • 英文 cycle complex