Quillen Q 构造

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.
• 对自然数 $n$, 以 $[n]$ 表示偏序集 $\{0,1,\dots ,n\}$, 视为范畴.
• $\mathsf{Ar}(\mathcal{C})$ 指范畴 $\mathcal{C}$ 的箭头范畴, 即函子范畴 $\mathsf{Fun}([1],\mathcal{C})$.
• $\iota \mathcal{C}$ 指范畴 $\mathcal{C}$ 的对象群胚, 即只保留 $\mathcal{C}$ 中的同构得到的群胚.

Quillen $\mathsf{Q}$ 构造是正合范畴代数 $K$ 理论的具体构造.

1定义

定义 1.1 (扭箭头范畴). 设 $\mathcal{I}$ 是范畴. $\mathcal{I}$ 的扭箭头范畴, 记作 $\mathsf{TwAr}(\mathcal{I})$, 指如下范畴:

•	其对象为 $\mathcal{I}$ 中的映射 $f:i_0\to i_1$.
•	$f:i_0\to i_1$ 到 $g:j_0\to j_1$ 的映射 $F$ 为交换图表$$i_0{i}_1{j}_0{j}_{1}f{F}_1{F}_{0}g$$

由构造我们有自然的函子 $\mathsf{TwAr}(\mathcal{I})\to {\mathcal{I}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{I}$, 即 $(f:i_0\to i_1)\mapsto (i_0,i_1)$. 这是个推出纤维化, 其直化是 $\mathrm{Hom}:{\mathcal{I}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{I}\to \mathsf{Ani}$. 扭箭头范畴的构造具有函子性, 即它给出函子 $\mathsf{TwAr}:\mathsf{Cat}\to \mathsf{Cat}$.

例 1.2. 对 $n\in \mathbb{N}$, $\mathsf{TwAr}[n]$ 是个偏序集, 形状如下: $$(n,n)⋰⋮(1,1)\cdots (1,n)(0,0)(0,1)\cdots (0,n)$$这关于 $n$ 有函子性, 构成余单纯范畴 $\mathsf{TwAr}[\bullet ]$.

定义 1.3 ($\mathsf{Q}$ 构造). 设 $\mathcal{C}$ 是正合范畴. 其 $\mathsf{Q}$ 构造指单纯正合范畴 ${\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}$, 其中 ${\mathsf{Q}}_n\mathcal{C}\subseteq \mathsf{Fun}(\mathsf{TwAr}[n],\mathcal{C})$ 指满足如下条件的对象 $x:\mathsf{TwAr}[n]\to \mathcal{C}$ 生成的满子范畴:

•	对 $0\le i<n$, $x_{i,i}\to x_{i,i+1}$ 是余纤维化, $x_{i+1,i+1}\to x_{i,i+1}$ 是纤维化;
•	对 $0<i\le j<n$, $$x_{i,j}{x}_{i,j+1}{x}_{i-1,j}{x}_{i-1,j+1}$$是推出图表;

其单纯范畴结构由 $\mathsf{TwAr}[\bullet ]$ 的余单纯范畴结构给出. 换言之, ${\mathsf{Q}}_n\mathcal{C}$ 是如下形状的图表构成的范畴: $$x_{n,n}⋰⋮x_{1,1}\cdots x_{1,n}{x}_{0,0}{x}_{0,1}\cdots x_{0,n}$$其中 $\rightarrowtail$ 是余纤维化, $\twoheadrightarrow$ 是纤维化, 所有的方块都是推出.

注 1.4. 容易发现 ${\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}$ 满足 Segal 条件, 即它是双范畴. 这对下面的定义 1.6 也成立.

定义 1.5 ($K$ 理论). 正合范畴 $\mathcal{C}$ 的 $\mathbf{K}$ 理论 $K(\mathcal{C})$ 指 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群 $\Omega |\iota {\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}|$, 其中:

•	$\iota$ 指对单纯正合范畴逐项取对象群胚, 带上有限余积给出的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群结构, 故 $\iota {\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}$ 是单纯 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群;
•	$\left|-\right|$ 指单纯对象的几何实现, 即沿 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 取余极限, 故 $|\iota {\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}|$ 是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群;
•	$\Omega$ 指取环路空间, 故最终 $K(\mathcal{C})=\Omega |\iota {\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}|$ 是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群.

显然, $K$ 理论对正合范畴的正合函子有函子性, 给出函子 $K:\mathsf{Exact}\to {\mathsf{Sp}}_{\ge 0}$. 映射$$x\mapsto (0\rightarrowtail 0\twoheadleftarrow x{)}^{-1}\circ (0\rightarrowtail x\twoheadleftarrow x)$$给出 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群自然同态 $\iota \Rightarrow K:\mathsf{Exact}\to {\mathbb{E}}_{\infty }\text{-}\mathsf{Mon}$. 对象 $x\in \mathcal{C}$ 在该映射下的像称为 $x$ 的 $\mathbf{K}$ 类, 记作 $[x]$.

$\mathsf{Q}$ 构造还有以下变体, 由 George Raptis 和 Wolfgang Steimle 在 2017 年发现, 给出 Waldhausen 范畴的 $K$ 理论:

定义 1.6 (配边范畴). 设 $\mathcal{C}$ 是 Waldhausen 范畴. 其配边范畴指单纯 Waldhausen 范畴 ${\mathsf{Cob}}_{\bullet }\mathcal{C}$, 其中 ${\mathsf{Cob}}_n\mathcal{C}\subseteq \mathsf{Fun}(\mathsf{TwAr}[n],\mathcal{C})$ 指满足如下条件的对象 $x:\mathsf{TwAr}[n]\to \mathcal{C}$ 生成的满子范畴:

•	对 $0\le i<n$, $x_{i,i}\to x_{i,i+1}$ 是余纤维化;
•	对 $0<i\le j<n$, $$x_{i,j}{x}_{i,j+1}{x}_{i-1,j}{x}_{i-1,j+1}$$是推出图表;

其单纯范畴结构由 $\mathsf{TwAr}[\bullet ]$ 的余单纯范畴结构给出. 换言之, ${\mathsf{Cob}}_n\mathcal{C}$ 是如下形状的图表构成的范畴: $$x_{n,n}⋰⋮x_{1,1}\cdots x_{1,n}{x}_{0,0}{x}_{0,1}\cdots x_{0,n}$$其中 $\rightarrowtail$ 是余纤维化, 所有的方块都是推出.

于是可和定义 1.5 一样定义 $K(\mathcal{C})$. 它对 Waldhausen 范畴有函子性, 给出函子 $K:\mathsf{Wald}\to {\mathsf{Sp}}_{\ge 0}$. 映射$$\iota \mathcal{C}\to 0{\times }_{\iota {\mathsf{Cob}}_0\mathcal{C}}\iota {\mathsf{Cob}}_1\mathcal{C}{\times }_{\iota {\mathsf{Cob}}_0\mathcal{C}}0\to \Omega |\iota {\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}|$$$$x\mapsto (0\rightarrowtail x\leftarrow 0)\mapsto [x]$$给出 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群自然同态 $\iota \Rightarrow K:\mathsf{Exact}\to {\mathbb{E}}_{\infty }\text{-}\mathsf{Mon}$. 对象 $x\in \mathcal{C}$ 在该映射下的像 $[x]$ 称为 $x$ 的 $\mathbf{K}$ 类.

注 1.7. 注意定义 1.6 不用到 Waldhausen 范畴的全部公理. 具体地说, 它不要求 $\mathcal{C}$ 有零对象, 只要求 $\mathcal{C}$ 有始对象, 且始对象出发的态射都是余纤维化.

注 1.8. 正合范畴都是 Waldhausen 范畴, 但定义 1.3 和定义 1.6 不一样. 有个显然的映射 ${\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}\to {\mathsf{Cob}}_{\bullet }\mathcal{C}$, 但它不是同构. 下面将会看到, 它诱导两种 $K$ 理论定义的同构.

2与 Waldhausen $\mathsf{S}$ 构造的比较

本节证明定义 1.3、定义 1.6、Waldhausen $\mathsf{S}$ 构造给出的 $K$ 理论典范同构 (定理 2.5).

定义 2.1 (缝合箭头范畴). 对范畴 $\mathcal{I}$, 定义缝合箭头范畴 $\mathsf{SAr}(\mathcal{I})$ 如下:

•	其对象形如 $(\pm ,i_0\to i_1)$, 其中 $i_0\to i_1$ 为 $\mathcal{I}$ 中的态射, $\pm$ 为 $+$、$-$ 之一;
•	$\mathrm{Hom}((+,i_0\to i_1),(+,j_0\to j_1))={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Ar}(\mathcal{I})}((i_0\to i_1),(j_0\to j_1))$;
•	$\mathrm{Hom}((+,i_0\to i_1),(-,j_0\to j_1))=\varnothing$;
•	$\mathrm{Hom}((-,i_0\to i_1),(+,j_0\to j_1))={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{I}}(i_1,j_1)$;
•	$\mathrm{Hom}((-,i_0\to i_1),(-,j_0\to j_1))={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{TwAr}(\mathcal{I})}((i_0\to i_1),(j_0\to j_1))$;

态射以显然的方式复合. 依定义有显然的满子范畴含入 $\mathsf{Ar}\hookrightarrow \mathsf{SAr}$、$\mathsf{TwAr}\hookrightarrow \mathsf{SAr}$.

例 2.2. 对 $n\in \mathbb{N}$, $\mathsf{SAr}[n]$ 是个偏序集, 形状如下: $$(-,n,n)⋰⋮(-,1,1)\cdots (-,1,n)(-,0,0)(-,0,1)\cdots (-,0,n)(+,0,0)(+,0,1)\cdots (+,0,n)(+,1,1)\cdots (+,1,n)\ddots ⋮(+,n,n)$$这关于 $n$ 有函子性, 构成余单纯范畴 $\mathsf{SAr}[\bullet ]$.

注 2.3. 回忆范畴 $\mathcal{I}$、$\mathcal{J}$ 的接合 $\mathcal{I}\star \mathcal{J}$ 定义如下:

•	其对象群胚为 $\mathcal{I}$、$\mathcal{J}$ 的对象群胚的无交并;
•	$\mathcal{I}$ 中对象之间的映射与 $\mathcal{J}$ 中对象之间的映射和原来一样;
•	对 $i\in \mathcal{I}$, $j\in \mathcal{J}$, $\mathrm{Hom}(j,i)=\varnothing$, $\mathrm{Hom}(i,j)=\ast$;

态射以显然的方式复合. 则我们有对范畴 $\mathcal{I}$ 自然的函子 $\mathsf{SAr}(\mathcal{I})\to \mathsf{Ar}({\mathcal{I}}^{\mathrm{op}}\star \mathcal{I})$, 定义为$$(+,i_0\to i_1)\mapsto (i_0\to i_1),(-,i_0\to i_1)\mapsto (i_0^{\mathrm{op}}\to i_1).$$对 $n\in \mathbb{N}$, $[n{]}^{\mathrm{op}}\star [n]=[2n+1]$, 偏序集 $\mathsf{Ar}([n{]}^{\mathrm{op}}\star [n])$ 形状如下: $$(-n,-n)\cdots (-n,-1)(-n,-0)(-n,0)(-n,1)\cdots (-n,n)\ddots ⋮⋮⋮⋮⋮(-1,-1)(-1,-0)(-1,0)(-1,1)\cdots (-1,n)(-0,-0)(-0,0)(-0,1)\cdots (-0,n)(0,0)(0,1)\cdots (0,n)(1,1)\cdots (1,n)\ddots ⋮(n,n)$$这里 $-i$ 表示 $i\in [n{]}^{\mathrm{op}}$. 自然函子 $\mathsf{SAr}[n]\to \mathsf{Ar}([n{]}^{\mathrm{op}}\star [n])$ 把例 2.2 的图等同于上图中对角线 $(-0,0),(-1,1),\dots ,(-n,n)$ 以下 (含) 的部分.

命题 2.4. 设 $\mathcal{C}$ 是 Waldhausen 范畴. 考虑单纯范畴 ${\mathsf{Cob}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}$, 其第 $n$ 项 ${\mathsf{Cob}}_n^{\prime }\mathcal{C}\subseteq \mathsf{Fun}(\mathsf{SAr}[n],\mathcal{C})$ 指满足如下条件的对象 $x:\mathsf{SAr}[n]\to \mathcal{C}$ 生成的满子范畴:

•	$x{|}_{\mathsf{Ar}[n]}\in {\mathsf{S}}_n\mathcal{C}$;
•	$x{|}_{\mathsf{TwAr}[n]}\in {\mathsf{Cob}}_n\mathcal{C}$;
•	对 $0\le j<n$, $$x_{-,0,j}{x}_{-,0,j+1}{x}_{+,0,j}{x}_{+,0,j+1}$$是推出图表;

其单纯范畴结构由 $\mathsf{SAr}[\bullet ]$ 的余单纯范畴结构给出. 换言之, ${\mathsf{Cob}}_n^{\prime }\mathcal{C}$ 是如下形状的图表构成的范畴: $$x_{-,n,n}⋰⋮x_{-,1,1}\cdots x_{-,1,n}{x}_{-,0,0}{x}_{-,0,1}\cdots x_{-,0,n}0x_{+,0,1}\cdots x_{+,0,n}0\cdots x_{+,1,n}\ddots ⋮0$$其中 $\rightarrowtail$ 是余纤维化, 所有的方块都是推出. 则限制函子 ${\mathsf{Cob}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}\to {\mathsf{Cob}}_{\bullet }\mathcal{C}$ 是单纯 Waldhausen 范畴的等价, 即对每个 $n$, 限制函子 ${\mathsf{Cob}}_n^{\prime }\mathcal{C}\to {\mathsf{Cob}}_n\mathcal{C}$ 都是 Waldhausen 范畴的等价.

如 $\mathcal{C}$ 是正合范畴, 则可类似地定义 ${\mathsf{Q}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}$. 此时限制函子 ${\mathsf{Q}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}\to {\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}$ 是单纯正合范畴的等价, 且这两个限制函子关于注 1.8 的比较映射构成的图表交换.

定理 2.5. 记号承命题 2.4. 沿 $\mathsf{Ar}[\bullet ]\hookrightarrow \mathsf{SAr}[\bullet ]$ 的限制函子 ${\mathsf{Cob}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}\to {\mathsf{S}}_{\bullet }\mathcal{C}$ 与命题 2.4 范畴等价之逆的复合$${\mathsf{Cob}}_{\bullet }\mathcal{C}\cong {\mathsf{Cob}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}\to {\mathsf{S}}_{\bullet }\mathcal{C}$$给出 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群的同构$$\Omega |\iota {\mathsf{Cob}}_{\bullet }\mathcal{C}|\cong \Omega |\iota {\mathsf{S}}_{\bullet }\mathcal{C}|.$$从而定义 1.6 和 Waldhausen $\mathsf{S}$ 构造给出的代数 $K$ 理论典范同构.

如 $\mathcal{C}$ 是正合范畴, 则注 1.8 的函子$${\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}\to {\mathsf{Cob}}_{\bullet }\mathcal{C}$$给出 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群的同构$$\Omega |\iota {\mathsf{Q}}_{\bullet }\mathcal{C}|\cong \Omega |\iota {\mathsf{Cob}}_{\bullet }\mathcal{C}|.$$从而定义 1.3 和 1.6 给出的代数 $K$ 理论典范同构.

证明. 对单纯对象 $X$, 以 $\mathrm{sd}X$ 记单纯对象 $X([\bullet {]}^{\mathrm{op}}\star [\bullet ])$, 即 $(\mathrm{sd}X{)}_n=X_{2n+1}$. 由定义 2.1、例 2.2、注 2.3, 我们有关于 $n\in \mathbb{\Delta }$ 自然的偏序集映射$$\mathsf{Ar}[n]\hookrightarrow \mathsf{SAr}[n]\hookrightarrow \mathsf{Ar}([n{]}^{\mathrm{op}}\star [n])\hookrightarrow \mathsf{SAr}([n{]}^{\mathrm{op}}\star [n]),$$给出映射$$\mathrm{sd}{\mathsf{Cob}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}\to \mathrm{sd}{\mathsf{S}}_{\bullet }\mathcal{C}\to {\mathsf{Cob}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}\to {\mathsf{S}}_{\bullet }\mathcal{C}.$$当 $\mathcal{C}$ 是正合范畴时, 容易发现 $\mathrm{sd}{\mathsf{S}}_{\bullet }\mathcal{C}\to {\mathsf{Cob}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}$ 穿过 ${\mathsf{Q}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}$, 而且所得映射 $\mathrm{sd}{\mathsf{S}}_{\bullet }\mathcal{C}\to {\mathsf{Q}}_{\bullet }^{\prime }\mathcal{C}$ 是同构. 于是只需证上面三个映射中, 前两个的复合与后两个的复合在作用 $|\iota (-)|$ 之后都是同构.

$\square$

注 2.6. 由各种构造下 $K$ 类的取法容易发现定理 2.5 中的典范同构保持 $K$ 类.

3相关概念

•	Quillen 拆解定理

术语翻译

Quillen $\mathsf{Q}$ 构造 • 英文 Quillen $\mathsf{Q}$-construction