Quillen + 构造

Quillen $+$ 构造是环的代数 $K$ 理论最早的定义方法, 由 Daniel Quillen 给出, 使用了拓扑空间的 $+$ 构造. 它是代数 $K$ 理论各种构造中最具体的, 这既有好处也有坏处: 一方面, 从它可以立即看出有限环的正数阶 $K$ 群有限, Quillen 甚至用它算出有限域的 $K$ 群; 另一方面, 想用它证明一般性质就比较困难.

1定义

定义 1.1. $R$ 是环. $R$ 的 Quillen $+$ 构造, 也就是它的代数 $\mathbf{K}$ 理论, 指的是空间$$K(R)=K_0(R)\times B{\mathrm{GL}(R)}^{+},$$其中:

•	$K_0(R)$ 是有限生成投射 $R$-模范畴的 Grothendieck 群, 即有限生成投射 $R$-模的同构类关于直和构成的交换幺半群的群化.
•	$B$ 是分类空间.
•	$\mathrm{GL}(R)={\mathrm{colim}}_n{\mathrm{GL}}_n(R)$, 其中转移映射 ${\mathrm{GL}}_n(R)\to {\mathrm{GL}}_{n+1}(R)$ 为 $A\mapsto \left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$.
•	${-}^{+}$ 是 $+$ 构造. 此处由于换位子群 $\mathrm{GL}(R{)}^{\prime }=E(R)=⟨1+a{E}_{ij}\mid i\ne j,a\in R⟩$ 为完美群, 这就相当于关于 $E(R)$ 的 $+$ 构造.

$R$ 的 $\mathbf{n}$ 阶 $\mathbf{K}$ 群 $K_n(R)$ 依 Quillen $+$ 构造定义为 ${\pi }_{n}K(R)$.

由群化定理, 这个构造实际上是投射 $R$-模沿同构构成的群胚关于直和构成的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群的群化, 从而自然构成 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群. 按照这一观点, 它可推广如下:

定义 1.2. $R$ 是连合 ${\mathbb{E}}_1$-环. $R$ 的 Quillen $+$ 构造指的是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群$$K(R)=\mathrm{Obj}(\mathsf{cProj}(R){)}^{\text{gp}},$$其中 $\mathsf{cProj}(R)$ 指的是紧投射 $R$-模, 亦即 $R$ 的有限直和的收缩, 构成的 $\infty$-范畴, $\mathrm{Obj}$ 指其对象构成的 $\infty$-群胚, ${-}^{\text{gp}}$ 指群化. 同样定义 $K_n(R)={\pi }_{n}K(R)$.

注 1.3. 如 $R$ 是连合 ${\mathbb{E}}_k$-环, $1\le k\le \infty$, 则 $\mathsf{cProj}(R)$ 关于张量积构成 ${\mathbb{E}}_{k-1}$-幺半范畴, 所以 $K(R)$ 关于张量积构成 ${\mathbb{E}}_{k-1}$-环.

2性质

3与其它构造的等价性

本节证明 Quillen $+$ 构造与 Waldhausen $S$ 构造等价. 具体地说, 我们来证明连合 ${\mathbb{E}}_1$-环 $R$ 的 Quillen $+$ 构造与完美复形范畴 $\mathsf{Perf}(R)$ (即导出范畴 $\mathsf{D}(R)$ 的紧对象子范畴) 的 Waldhausen $S$ 构造等价. 首先把问题化归到不同范畴的 Waldhausen $S$ 构造等价:

命题 3.1. 令 ${\mathsf{cProj}}_{†}(R)$ 为 $\mathsf{cProj}(R)$ 中的分裂单射, 即形如 $P\to P\oplus Q$ 的映射, 构成的子集, 显然这是 $\mathsf{cProj}(R)$ 的 Waldhausen $\infty$-范畴结构. 则该 Waldhausen $\infty$-范畴的 Waldhausen $S$ 构造 $K(\mathsf{cProj}(R))$ 等价于 $R$ 的 Quillen $+$ 构造 $K(R)$.

于是只需证 $K(\mathsf{cProj}(R))=K(\mathsf{Perf}(R))$. 现对整数 $a\le b$ 考虑 Waldhausen $\infty$-范畴 ${\mathsf{Perf}}_{[a,b]}(R)$, 定义如下:

•	作为 $\infty$-范畴, 它是 $\mathsf{Perf}(R)$ 的满子范畴, 恰含有投射幅度集中在 $[a,b]$ 的对象, 即那些 $P\in \mathsf{Perf}(R)$, 满足对任一同伦群集中在 $0$ 的 $R$-模 $M$, 谱 ${\mathrm{Hom}}_R(P,M)$ 的同伦群都集中在 $[-b,-a]$.
•	称其中映射 $P\to Q$ 为余纤维化, 意思是 $\mathrm{cofib}(P\to Q)\in {\mathsf{Perf}}_{[a,b]}(R)$, 其中 $\mathrm{cofib}$ 指的是 $\mathsf{Perf}(R)$ 中的余纤维.

类似定义 ${\mathsf{Perf}}_{\ge a}(R)$ 和 ${\mathsf{Perf}}_{\le b}(R)$. 则:

•	$\mathsf{Perf}(R)={\mathrm{colim}}_{a\to -\infty }{\mathsf{Perf}}_{\ge a}(R)$. 换言之, $\mathsf{Perf}(R)$ 是图表$${\mathsf{Perf}}_{\ge 0}(R)\stackrel{\Sigma }{\to }{\mathsf{Perf}}_{\ge 0}(R)\stackrel{\Sigma }{\to }\cdots$$的余极限, 也就是 ${\mathsf{Perf}}_{\ge 0}(R)$ 的 Spanier–Whitehead 构造. 容易发现 ${\mathsf{Perf}}_{\ge 0}(R)$ 的每个映射都是余纤维化, 所以由代数 $K$ 理论的一般性质, $K(\mathsf{Perf}(R))=K({\mathsf{Perf}}_{\ge 0}(R))$.
•	${\mathsf{Perf}}_{\ge 0}(R)={\mathrm{colim}}_{b\to +\infty }{\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R)$, 而 ${\mathsf{Perf}}_{[0,0]}(R)=\mathsf{cProj}(R)$.

由于 $K$ 理论与滤余极限交换, 只需对任一 $b\in \mathbb{N}$ 证明含入函子 ${\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R)\to {\mathsf{Perf}}_{[0,b+1]}(R)$ 诱导 $K$ 理论的同构. 为此, 作 Waldhausen $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 如下:

•	其对象为余纤维列 $P^{\prime }\to P\to P^{\prime \prime }$, 其中 $P^{\prime }\in {\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R)$, $P\in \mathsf{cProj}(R)$, $P^{\prime \prime }\in {\mathsf{Perf}}_{[0,b+1]}(R)$.
•	余纤维化为逐项在各自的范畴中是余纤维化者.

然后考虑函子:

•	$p:\mathcal{C}\to \mathsf{cProj}(R)$, $(P^{\prime }\to P\to P^{\prime \prime })\mapsto P$.
•	$p^{\prime }:\mathcal{C}\to {\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R)$, $(P^{\prime }\to P\to P^{\prime \prime })\mapsto P^{\prime }$.
•	$p^{\prime \prime }:\mathcal{C}\to {\mathsf{Perf}}_{[0,b+1]}(R)$, $(P^{\prime }\to P\to P^{\prime \prime })\mapsto P^{\prime \prime }$.
•	$i:\mathsf{cProj}(R)\to \mathcal{C}$, $P\mapsto (0\to P\to P)$.
•	$j:\mathsf{cProj}(R)\to \mathcal{C}$, $P\mapsto (P\to P\to 0)$.
•	$i^{\prime }:{\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R)\to \mathcal{C}$, $P^{\prime }\mapsto (P^{\prime }\to 0\to \Sigma P^{\prime })$.

则:

•	$p\circ i=p\circ j=p^{\prime }\circ i^{\prime }=\mathrm{id}$, $p\circ i^{\prime }=p^{\prime }\circ i=p^{\prime \prime }\circ j=0$, $p^{\prime \prime }\circ i^{\prime }=\Sigma$.
•	$i\circ p\to \mathrm{id}\to i^{\prime }\circ p^{\prime }$ 是 $\mathcal{C}$ 到自身的函子的余纤维列.

所以由代数 $K$ 理论的一般性质, $$(K(p),K(p^{\prime })):K(\mathcal{C})\to K(\mathsf{cProj}(R))\oplus K({\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R))$$和$$(K(i),K(i^{\prime })):K(\mathsf{cProj}(R))\oplus K({\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R))\to K(\mathcal{C})$$是互逆同构. 而由于 $p\circ j$ 也是 $\mathrm{id}$, 不难发现 $K(i^{\prime })$ 诱导同构 $K({\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R))\to \mathrm{cofib}(K(j))$, 这里 $\mathrm{cofib}$ 指的是 ${\mathsf{Sp}}_{\ge 0}$ 中余纤维. 现在只要$$K(\mathsf{cProj}(R))\stackrel{K(j)}{\to }K(\mathcal{C})\stackrel{K(p^{\prime \prime })}{\to }{\mathsf{Perf}}_{[0,b+1]}(R)$$是 ${\mathsf{Sp}}_{\ge 0}$ 中的余纤维列, 就有$$K({\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R))\cong K({\mathsf{Perf}}_{[0,b+1]}(R)),$$由 $\Sigma$ 诱导. 而含入函子、$0$、$\Sigma$ 组成 $K({\mathsf{Perf}}_{[0,b]}(R))$ 到 $K({\mathsf{Perf}}_{[0,b+1]}(R))$ 的函子的余纤维列, 所以 $\Sigma$ 所诱导的映射与含入函子所诱导的仅仅差个符号, 这样就完成了证明. 于是我们最后就化归到:

命题 3.2. $K(\mathsf{cProj}(R))\stackrel{K(j)}{\to }K(\mathcal{C})\stackrel{K(p^{\prime \prime })}{\to }{\mathsf{Perf}}_{[0,b+1]}(R)$ 是余纤维列, 其中 $j:\mathsf{cProj}(R)\to \mathcal{C}$ 指 $P\mapsto (P\to P\to 0)$, $p^{\prime \prime }:\mathcal{C}\to {\mathsf{Perf}}_{[0,b+1]}(R)$ 指 $(P^{\prime }\to P\to P^{\prime \prime })\mapsto P^{\prime \prime }$.

(最后应当化归到 [Barwick] 的 9.24 和 10.17.)

4相关概念

•

群化定理

参考文献

[Barwick]

C. Barwick (2016). ‘On the Algebraic $K$-Theory of Higher Categories’. Journal of Topology, vol. 9, 245–347.

术语翻译

Quillen $+$ 构造 • 英文 Quillen $+$-construction