理想

本文介绍的是环的理想. 关于其它含义, 请参见 “理想 (多义词)”.

理想是环的一种特殊的子集, 使其在一些运算下封闭.

理想的最初引入是作为数的推广. 在一般的 Dedekind 环之中唯一分解定理并不成立, 却可以在推广的意义下成立, 即理想可以唯一分解为素理想之积. “理想” 即 “理想的数”, 由于满足这样好的性质而得名.

理想常用字母 $I$ 或哥特体字母 $\mathfrak{a}$ 表示.

1定义

定义 1.1.

•	环 $A$ 上的左理想是其加法子群 $I$, 使$$ax\in I,\forall a\in A,x\in I.$$
•	环 $A$ 上的右理想是其加法子群 $I$, 使$$xa\in I,\forall a\in A,x\in I.$$
•	环 $A$ 上的理想, 或称双边理想, 是其加法子群 $I$, 使$$axb\in I,\forall a,b\in A,x\in I.$$

等价地, 环 $A$ 的 (左、右、双边) 理想是其作为自己的 (左、右、双) 模的子模.

注 1.2. 对交换环 $A$ 的子集 $I$, $I$ 是左理想、右理想、理想三者等价.

定义 1.3. 不为环本身的 (左、右、双边) 理想称为真 (左、右、双边) 理想, 即同时为环的真子集的理想.

2例子

•	任何环 $A$ 中, $\{0\}$ 和 $A$ 自身都是理想, 分别称为零理想和平凡理想 (或单位理想).

•	交换环 $A$ 中元素 $a\in A$ 的所有倍元之集 $(a)=aA$ 是 $A$ 的理想, 称为主理想. 对非交换环, 也可以定义左、右、双边主理想.

3性质

基本性质

•	包含幺元的理想必定是环本身.

•

理想是无幺环.

4操作

(商环、延拓、收缩)

5相关概念

术语翻译

理想 • 英文 ideal • 德文 Ideal (n) • 法文 idéal (m) • 拉丁文 ideal (n) • 古希腊文 ἰδεῶδες (n)