Morera 定理

在复分析中, Morera 定理是判断一个函数是否全纯的条件. Cauchy 积分定理说明, 在复平面上, 全纯函数沿闭曲线的积分为 $0$. 而 Morera 定理则说明, 满足这一条件的函数必为全纯函数.

1叙述与证明

定理 1.1 (Morera). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 为开集, $f:U\to \mathbb{C}$ 为连续函数. 则下列等价:

1.	$f$ 全纯.
2.	对 $U$ 中任意零伦的可求长闭曲线 $\gamma$, 曲线积分$${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0.$$
3.	对 $U$ 内的任意三角形 $T$ (实心、包含边界), 曲线积分$${\oint }_{\partial T}f(z)dz=0,$$其中 $\partial T$ 为 $T$ 的边界.

证明. 1 $\Rightarrow$ 2 是由于 Cauchy 积分定理; 2 $\Rightarrow$ 3 是平凡的. 下面证明 3 $\Rightarrow$ 1.

只需证明 $f$ 在每个点 $p\in U$ 附近全纯. 不妨记 $p=0$. 取 $r>0$, 使以之为半径的开球 $V=B_r(0)\subset U$. 对 $z\in V$, 定义$$F(z)={\int }_0^{z}f(z)dz,$$这里是沿着直线段做曲线积分. 对任意 $\epsilon ,\theta \in \mathbb{R}$, 若 $z+\epsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\in V$, 则对以 $0,z,z+\epsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ 为顶点的三角形用条件 3, 知$$F(z+\epsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })=F(z)+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{\int }_0^{\epsilon }f(z+x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })dx.$$由微积分第一基本定理, 知 $\epsilon \to 0$ 时, 上述积分为 $\epsilon f(z)+o(\epsilon )$. 这说明对 $z^{\prime }\in \mathbb{C}$, 当 $z^{\prime }\to 0$ 时$$F(z+z^{\prime })=F(z)+z^{\prime }f(z)+o(|z^{\prime }|).$$故由全纯函数的定义, $F$ 全纯, 且 $F^{\prime }=f$. 由 Cauchy 积分公式, $F^{\prime \prime }$ 存在, 故 $f$ 全纯.

$\square$

2相关概念

术语翻译

Morera 定理 • 英文 Morera’s theorem • 德文 Satz von Morera • 法文 théorème de Morera