Picard 大定理

约定. 在本文中,

• $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ 指复平面的单位圆盘.

Picard 大定理是复分析中关于本性奇点的重要定理, 说的是全纯函数在本性奇点附近最多有一个值取不到. 它是 Casorati–Weierstraß 定理的巨大加强.

Picard 大定理也是 Picard 小定理的推广. 小定理保证对于非多项式的 $\mathbb{C}$ 上全纯函数, 它至多一个值取不到. 因为这种函数在 $\infty$ 处本性奇, 所以可以应用 Picard 大定理, 得知即便在 $\infty$ 的邻域内值域也如此.

1陈述

定理 1.1. 设 $f:\mathbb{D}\setminus 0\to \mathbb{C}$ 是全纯函数, $0$ 是 $f$ 的本性奇点. 则 $f$ 的像集在 $\mathbb{C}$ 中的补集至多只有一个点.

注 1.2. 实际上$$\{w\in \mathbb{C}:0\in \overline{f^{-1}(w)}\}$$的补集至多只有一个点, 因为可对更小的去心圆盘使用定理 1.1. 换言之, 存在复数 $c$, 使得对任意复数 $w\ne c$, 都有一列复数 $z_n$, 满足 $f(z_n)=w$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=0$.

2证明

用反证法, 设 $f:\mathbb{D}\setminus 0\to \mathbb{C}\setminus \{0,1\}$ 是全纯函数, $0$ 是 $f$ 的本性奇点, 我们来推矛盾.

任取 $b\in \mathbb{C}\setminus \{0,1\}$. 由 Casorati–Weierstraß 定理, 存在一列 $a_n\in \mathbb{D}\setminus 0$, 满足 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }f(a_n)=b$. 取 $a\in \mathbb{D}\setminus 0$, 使其模长大于每个 $a_n$. 令 $f_n(z)=f(a_{n}z/a)$, 则 $f_n$ 也是 $\mathbb{D}\setminus 0$ 到 $\mathbb{C}\setminus \{0,1\}$ 的全纯函数, 且 ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(a)=b$.

在 Picard 小定理的证明中我们已经看到 $\mathbb{C}\setminus \{0,1\}$ 的万有覆叠是 $\mathbb{D}$. 换言之, 存在全纯函数 $p:\mathbb{D}\to \mathbb{C}\setminus \{0,1\}$, 在拓扑上是万有覆叠. 用指数函数容易发现 $\mathbb{D}\setminus 0$ 的万有覆叠也是 $\mathbb{D}$. 分别取 $a$、$b$ 在覆叠映射下的原像 $\tilde{a}$、$\tilde{b}$, 并沿覆叠映射提升 $f_n$ 为 ${\tilde{f}}_n:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 如图$$\mathbb{D}\mathbb{D}\mathbb{D}\setminus 0\mathbb{C}\setminus \{0,1\}{\tilde{f}}_{n}qp{f}_n$$使得 ${\lim }_{n\to \infty }{\tilde{f}}_n(\tilde{a})=\tilde{b}$. 由覆叠空间的理论这可以做到. 现由 Arzela–Ascoli 定理, 把 $f_n$ 和 ${\tilde{f}}_n$ 换成子列, 可设 ${\tilde{f}}_n$ 内闭一致收敛到全纯函数 $\tilde{g}$. 由于 $\tilde{g}$ 的像集含于 $\overline{\mathbb{D}}$, 由开映射定理, 只要 $\tilde{g}$ 不是常值, 像集就含于 $\mathbb{D}$; 而如它是常值, 由于 ${\lim }_{n\to \infty }{\tilde{f}}_n(\tilde{a})=\tilde{b}$, 它必为常值 $\tilde{b}\in \mathbb{D}$. 于是 $\tilde{g}$ 也是 $\mathbb{D}$ 到 $\mathbb{D}$ 的全纯函数. 此时由连续性容易发现 $p\circ \tilde{g}$ 在 $q$-覆叠变换下不变, 于是给出全纯函数 $g:\mathbb{D}\setminus 0\to \mathbb{C}\setminus \{0,1\}$ 如图$$\mathbb{D}\mathbb{D}\mathbb{D}\setminus 0\mathbb{C}\setminus \{0,1\}\tilde{g}qpg$$而且 $f_n$ 内闭一致收敛到 $g$. 于是函数列 $f_n$ 在 $S_{|a|}$ 上一致有界, 其中 $S_r=\{z\in \mathbb{C}:|z|=r\}$. 由于 $f_n(z)=f(a_{n}z/a)$, 这说明 $f$ 在 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{S}_{|a_n|}$ 上有界. 注意 $S_{|a_n|}$ 是圆心为 $0$、半径趋于 $0$ 的一列圆, 故由最大模原理即知 $f$ 在 $0$ 的去心邻域上有界, 与 $0$ 是 $f$ 的本性奇点矛盾.

3例子

•	$\exp (1/z)$ 取不到 $0$.

(...)

4推论

推论 4.1. 全纯单射 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 仅有 $f(z)=az+b$ 其中 $a\ne 0$.

证明. 判断 $f$ 在 $\infty$ 的极点类型, 它不能是本性奇点, 否则根据 1.1, 在 $\infty$ 附近 $f$ 能无穷次地取除了一个点外的其他值, 进而不能是单射; 它也不能是可去的, 否则根据 Liouville 定理可知 $f$ 是常函数. 故 $\infty$ 是 $f$ 的极点, 由此可知 $f$ 是非常值的多项式. 根据 代数基本定理, 只要 $f(z)-c=0$ 无重根, 即 $c\notin \{f(z_0):z_0\in \mathbb{C},f^{\prime }(z_0)=0\}$, $f^{-1}(c)$ 就包含 $\mathrm{deg}f$ 个互不相同的点. 这表明 $\mathrm{deg}f=1$, 最后不难检查次数 $1$ 的多项式都是单射.

$\square$

推论 4.2. 复平面 $\mathbb{C}$ 到自身的所有全纯单射, 恰是所有全纯自同胚. 它们构成群$$\mathrm{Aut}(\mathbb{C})=\left\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right]:a\in {\mathbb{C}}^{\ast },b\in \mathbb{C}\right\}\cong {\mathbb{C}}^{\ast }⋉\mathbb{C}.$$

术语翻译

Picard 大定理 • 英文 Picard’s great theorem