交错双线性型

约定. 在本文中,

• 所有环都是交换环.

交错双线性型是满足对任意向量 $v$ 都有 $B(v,v)=0$ 的双线性型, 也就是交错 $(2,0)$-张量.

1定义

定义 1.1 (交错双线性型). 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-线性空间. $V$ 上交错双线性型指的是双线性型 $B:V\times V\to k$, 满足对任意 $v\in V$ 都有 $B(v,v)=0$.

注 1.2 (反对称双线性型). 于是对 $u,v\in V$, 展开 $0=B(u+v,u+v)=B(u,u)+B(u,v)+B(v,u)+B(v,v)=B(u,v)+B(v,u)$, 即 $B(u,v)=-B(v,u)$. 满足 $B(u,v)=-B(v,u)$ 者称为反对称双线性型. 这个概念相比交错没那么自然. 在 $\mathrm{char}k=2$ 时它相当于对称, 在 $\mathrm{char}k\ne 2$ 时代入 $u=v$ 知它相当于交错.

定义 1.3 (正交补). 设 $B$ 是 $V$ 上交错双线性型, $W\subseteq V$ 是子空间. $W$ 关于 $B$ 的正交补, 记作 $W^{\perp }$, 指子空间$$\{v\in V\mid \forall u\in W,B(u,v)=0\}.$$$(V,B)$ 的根, 又称核, 指的是 $V^{\perp }$, 即子空间$$\{v\in V\mid \forall u\in V,B(u,v)=0\}.$$称 $B$ 为非退化, 指其根为 $0$. 这是一般的双线性型都有的概念, 不过在此由于交错, 左右正交补相同.

定义 1.4 (辛形式). 如 $V$ 是有限维线性空间, 交错双线性型 $B$ 为非退化, 则称 $B$ 为辛形式.

2性质

有限维线性空间上的交错双线性型都有标准型:

定理 2.1. $k$ 是域, $V$ 是有限维 $k$-线性空间, $B$ 是 $V$ 上交错双线性型. 则 $V$ 存在一组基 $\{u_1,\dots ,u_m;v_1,\dots ,v_m;w_1,\dots ,w_n\}$, 使得 $B(u_i,v_j)={\delta }_{ij}$, 即 $i=j$ 时为 $1$, $i\ne j$ 时为 $0$, 且 $B(u_i,u_j)=B(v_i,v_j)=B(w_i,w_j)=B(u_i,w_j)=B(v_i,w_j)=0$, 对任意 $i,j$. 换言之, $B$ 在该基下的矩阵为$$\left(\begin{array}{ccc}0& I_m& 0\\ -I_m& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$其中 $I_m$ 表示 $m$ 阶单位阵.

推论 2.2. $k$ 是域, $V,V^{\prime }$ 是有限维 $k$-线性空间, $B,B^{\prime }$ 分别是 $V,V^{\prime }$ 上交错双线性型.

•	如 $V,V^{\prime }$ 维数一样, $B,B^{\prime }$ 零度一样, 则 $(V,B)\cong (V^{\prime },B^{\prime })$.
•	如 $B$ 非退化, 则 $\dim V$ 是偶数.

此外, 交错双线性型还有同构延拓性质:

定理 2.3. $k$ 是域, $V,V^{\prime }$ 是有限维 $k$-线性空间, $B,B^{\prime }$ 分别是 $V,V^{\prime }$ 上交错双线性型, 满足 $(V,B)\cong (V^{\prime },B^{\prime })$. 如有子空间 $W\subseteq V$, $W^{\prime }\subseteq V^{\prime }$ 之间同构 $f:(W,B)\cong (W^{\prime },B^{\prime })$, 则其可延拓为同构 $\tilde{f}:(V,B)\cong (V^{\prime },B^{\prime })$.

3推广

交错双线性型也可推广到环上.

定义 3.1. 环 $R$ 的模 $M$ 上的交错双线性型指的是映射 $B:M\times M\to R$, 对两个分量都 $R$-线性, 且对任意 $m\in M$ 有 $B(m,m)=0$. 称 $B$ 为非退化, 指 $M$ 为有限生成投射, 且 $B$ 在 $R$ 的各个素理想剩余域处非退化.

命题 3.2. $R$-模 $M$ 上的交错双线性型相当于 ${\Lambda }^{2}M$ 到 $R$ 的映射, 其中 $\Lambda$ 指外积.

命题 3.3. 设 $B$ 是有限生成投射 $R$-模 $M$ 上非退化交错双线性型. 则在 $R$ 的 Zariski 局部上, $M$ 有一组基 $\{u_1,\dots ,u_m;v_1,\dots ,v_m\}$, 使得 $B(u_i,v_j)={\delta }_{ij}$, $B(u_i,u_j)=B(v_i,v_j)=0$, 对任意 $i,j$. 换言之, $B$ 在该基下的矩阵为$$\left(\begin{array}{cc}0& I_m\\ -I_m& 0\end{array}\right).$$特别地, $M$ 的秩是偶数.

4相关概念

•	外积
•	Pfaff 式
•	辛形式
•	辛群

术语翻译

交错双线性型 • 英文 alternating bilinear form • 德文 alternierende Bilinearform • 法文 forme bilinéaire alternée • 拉丁文 forma bilinearis alterna • 古希腊文 ἀλλάττουσα διγραμμικὴ μορφή

反对称双线性型 • 英文 antisymmetric bilinear form • 德文 antisymmetrische Bilinearform • 法文 forme bilinéaire antisymétrique • 拉丁文 forma bilinearis antisymmetrica • 古希腊文 ἀντισυμμετρὰ διγραμμικὴ μορφή

辛形式 • 英文 symplectic form • 德文 symplektische Form • 法文 forme symplectique • 拉丁文 forma symplectica • 古希腊文 συμπλεκτικὴ μορφή