双线性映射

在线性代数中, 双线性映射是具有两个参数的线性映射, 是多线性映射的特例. 准确地说, 给定域 $k$ 上的向量空间 $X,Y,Z$, 或更一般地, 交换环 $k$ 上的模 $X,Y,Z$, 并考虑形如$$f:X\times Y⟶Z$$的映射. 说 $f$ 是双线性映射, 是指 $f(x,y)$ 关于 $x,y$ 都线性, 也就是说, 若固定 $y\in Y$, 则 $f(-,y)$ 是 $X$ 到 $Z$ 的线性映射; 若固定 $x\in X$, 则 $f(x,-)$ 是 $Y$ 到 $Z$ 的线性映射.

当 $X=Y$ 并且 $Z=k$ 时, 上述双线性映射称为双线性型.

等价地说, 双线性映射也是从张量积出发的线性映射. 也就是说, 形如 $f:X\times Y\to Z$ 的双线性映射与 $X\otimes Y\to Z$ 的线性映射自然地一一对应.

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术语翻译

双线性映射 • 英文 bilinear map