Weil 层

约定. 在本文中,

• ${\mathbb{F}}_q$ 是 $q$ 元有限域, $p$ 是其特征, $\mathbb{F}$ 是选定的代数闭包.
• $\ell$ 是不等于 $p$ 的素数, ${\mathbb{Z}}_{\ell }$、${\mathbb{Q}}_{\ell }$ 表示 $\ell$ 进数, $\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$ 表示 ${\mathbb{Q}}_{\ell }$ 的代数闭包.

Weil 层是有限域上概形上平展层的推广, 用来证明 Weil 猜想的 Riemann 猜想部分. 粗略地说, 设 $X_0$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上的概形, $X=X_0{\times }_{{\mathbb{F}}_q}\mathbb{F}$, 则由 Galois 下降, $X_0$ 上的平展层 $A_0$ 等价于其在 $X$ 的基变换 $A$ 附带关于 Galois 群 $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}/{\mathbb{F}}_q)=\hat{\mathbb{Z}}$ 的下降数据. Weil 层即是把这个 $\hat{\mathbb{Z}}$-下降数据减弱为 $\mathbb{Z}$-下降数据.

1定义

定义 1.1 (Weil 层). 设 $X_0$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上的概形, 以 $X$ 记 $X_0$ 在 $\mathbb{F}$ 上的基变换. 注意 $X_0$ 的 $q$ 次方 Frobenius 自同态 $F_0:X_0\to X_0$ 是 $X_0$ 作为 ${\mathbb{F}}_q$-概形的自同态. 把它从 ${\mathbb{F}}_q$ 基变换到 $\mathbb{F}$, 所得映射记作 $F:X\to X$, 称为几何 Frobenius 自同态.

$X_0$ 上的 Weil 层指序对 $(A,F_A)$, 其中 $A$ 是 $X$ 上平展层, $F_A:F^{\ast }A\cong A$ 是同构. 无歧义时也以 $A$ 表示整个 Weil 层. 这里的层可以是集合层、Abel 群层、生象层、链复形层等等.

注 1.2 (平展层都是 Weil 层). 设 $A_0$ 是 $X_0$ 上的平展层. 则它可视为 $X_0$ 上的 Weil 层如下: 注意 $F_0:X_0\to X_0$ 在拓扑空间上是 $\mathrm{id}$, 诱导平展景的态射也是 $\mathrm{id}$, 故有同构 ${F_0}_A:F_0^{\ast }{A}_0\cong {\mathrm{id}}^{\ast }{A}_0=A_0$; 令 $A$ 为 $A_0$ 在 $X$ 的基变换, 把 ${F_0}_A$ 也基变换, 得同构 $F_A:F^{\ast }A\cong A$, 此即 $A_0$ 对应的 Weil 层.

注 1.3 (叠观点). 以 ${\mathsf{Perf}}_{\mathbb{F}}$ 记完美 $\mathbb{F}$-代数的范畴, 带平展拓扑, 其上的集合层称为完美层, 生象层称为完美叠. 把 $\mathbb{F}$ 上概形用 Yoneda 函子视为完美层, 即 $X(R):={\mathrm{Map}}_{\mathbb{F}}(\mathrm{Spec}(R),X)$, 则 $F:X\to X$ 诱导完美层 $X$ 的自同构, 而 $X_0$ 上的 Weil 层就是商叠 $X/F$ 上的平展层.

注 1.4. 容易发现 $X_0$ 上的 Weil 层只依赖 ${\mathbb{F}}_p$-概形 $X_0$ 本身, 不依赖基域 ${\mathbb{F}}_q$: 这是因为如 $q=p^d$, 则 $X_0{\times }_{{\mathbb{F}}_p}\mathbb{F}$ 为 $d$ 个 $X=X_0{\times }_{{\mathbb{F}}_q}\mathbb{F}$ 的无交并, 其 $p$ 次方 Frobenius 可视为轮换 $d$ 个 $X$, 在换回原位时变为 $F:X\to X$, 故以 ${\mathbb{F}}_q$ 为基域和以 ${\mathbb{F}}_p$ 为基域定义出来的 Weil 层一样. 用注 1.3 的观点, 这就是说商叠 $X/F$ 不依赖 ${\mathbb{F}}_q$, 也即 $X_0\mapsto X/F$ 构成函子 ${\mathsf{Sch}}_{{\mathbb{F}}_p}\to {\mathsf{Sh}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}({\mathsf{Perf}}_{\mathbb{F}})$.

2例子

例 2.1. 由于 $\mathrm{Spec}(\mathbb{F})$ 是一个几何点, $\mathrm{Spec}({\mathbb{F}}_q)$ 上的集合 Weil 层就是集合 $A$ 附带自同构 $F_A:A\cong A$, 它来自平展层当且仅当 $F_A$ 来自连续 $\hat{\mathbb{Z}}$-作用, 即对任意 $a\in A$ 都存在 $n_a\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 使得 $F_A^{n_a}(a)=a$.

类似地, $\mathrm{Spec}({\mathbb{F}}_q)$ 上的 $\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$-Weil 层就是 $\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$-线性空间 $V$ 附带自同构 $F_V:V\cong V$. 如 $V$ 是一维线性空间, 则 $F_V$ 由一个非零的数给出. 常将 $b\in {\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}}^{\times }$ 对应的一维 $\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$-Weil 层记作 ${\mathbb{L}}_b$; 它来自平展层当且仅当 $b\in \overline{{\mathbb{Z}}_{\ell }}$.

按注 1.3 的观点, $\mathrm{Spec}({\mathbb{F}}_q)$ 对应的商叠是 $\ast /\mathbb{Z}$, 态射 $\mathrm{Spec}({\mathbb{F}}_{q^n})\to \mathrm{Spec}({\mathbb{F}}_q)$ 对应 $\ast /\mathbb{Z}$ 到自身的 $n$ 重覆叠.

3性质

定理 3.1. 设环 $\Lambda$ 为 $\mathbb{Z}/{\ell }^n$-代数, 或 ${\mathbb{Q}}_{\ell }$ 的代数扩张, 或 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$ 在其中的整闭包, 或更一般地设凝聚态环 $\Lambda$ 为核 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-代数. 则 ${\mathbb{F}}_p$-概形上的 $\mathsf{D}(\Lambda )$-Weil 层有六函子理论, 使得局部有限型态射都有 $!$ 函子. 这里 $\mathsf{D}(\Lambda )$ 表示核 $\Lambda$-模的导出 $(\infty ,1)$-范畴.

证明. 由注 1.3 不难把定理化归到通常 $\ell$ 进平展层的六函子理论.

$\square$

命题 3.2. 注 1.2 描述的平展层到 Weil 层的函子满忠实.

定理 3.3. 设 $X_0$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上的代数簇, $A$ 是 $X_0$ 上的 $\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$-Weil 局部系, 即取值为有限维 $\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$-线性空间的局部常 Weil 层.

1.	如 $X_0$ 正规、几何连通, $A$ 不可约, 则 $A$ 来自平展层当且仅当其行列式层 $\det (A)$ 来自平展层. 因此总存在 $a\in {\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}}^{\times }$ 使得 $A\otimes {\mathbb{L}}_a$ 来自平展层.
2.	一般情况下总存在滤链$$0=A_0\subset A_1\subset \cdots \subset A_r=A$$以及 $a_1,\dots ,a_r\in {\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}}^{\times }$, 使得每个 $A_i/A_{i-1}$ 都还是局部系, 且 $A_i/A_{i-1}\otimes {\mathbb{L}}_{a_i}$ 来自平展层.

推论 3.4 (Grothendieck 迹公式). 设 $X_0$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上的代数簇, $X$ 是其在 $\mathbb{F}$ 的基变换, $A$ 是 $X_0$ 上的 $\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$-完美复形值 Weil 层. 定义 $A$ 的 $\mathbf{L}$ 函数为$$L(X_0,A,s)=\prod _{x\in |X_0|}\det (1-s^{-|k(x)|}{F}_x\mid A_{\bar{x}}),$$其中 $|X_0|$ 表示 $X_0$ 中闭点的集合, $k(x)$ 表示 $x$ 的剩余域, $\bar{x}$ 表示 $x$ 的几何点, $F_x:A_{\bar{x}}\cong A_{\bar{x}}$ 表示 $A$ 沿含入映射 $x\to X_0$ 拉回到 $x$ 之后依例 2.1 所得自同构. 则$$L(X_0,A,s)=\det (1-s^{-q}{F}_A\mid {\mathrm{R\Gamma }}_{\mathrm{c}}(X,A)),$$其中 ${\mathrm{R\Gamma }}_{\mathrm{c}}$ 表示紧支平展上同调.

4相关概念

•	Weil 猜想
•	Drinfeld 引理
•	$\ell$ 进 Fourier 变换
•	层–函数对应

术语翻译

Weil 层 • 英文 Weil sheaf