层–函数对应

约定. 在本文中,

• ${\mathbb{F}}_q$ 是 $q$ 元有限域, $p$ 是其特征, $\mathbb{F}$ 是选定的代数闭包.
• $\ell$ 是不等于 $p$ 的素数, ${\mathbb{Z}}_{\ell }$、${\mathbb{Q}}_{\ell }$ 表示 $\ell$ 进数, $\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$ 表示 ${\mathbb{Q}}_{\ell }$ 的代数闭包.

层–函数对应, 或称层–函数字典, 指给 ${\mathbb{F}}_q$-代数簇 $X_0$ 上的 $\ell$ 进平展层或 Weil 层赋予 $X_0({\mathbb{F}}_q)$ 上的函数的一种典范方法, 大体上只记录 Frobenius 态射的迹.

1定义

定义 1.1 (层–函数对应). 设 $\Lambda$ 为 $\mathbb{Z}/{\ell }^n$-代数, 或 ${\mathbb{Q}}_{\ell }$ 的代数扩张, 或 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$ 在其中的整闭包; 或更一般地, 设 $\Lambda$ 为 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-代数, 带有在 ${\mathbb{Z}}_{\ell }$ 上相对离散的凝聚态结构. 对 ${\mathbb{F}}_q$-代数簇 $X_0$, 以 $\mathsf{D}(X_0;\Lambda )$ 表示 $X_0$ 上的 $\Lambda$-完美复形值 Weil 层的范畴.

层–函数对应指以下映射: $$\mathsf{D}(X_0;\Lambda )\to \mathrm{Fun}(X_0({\mathbb{F}}_q);\Lambda )$$$$(A,F_A)\mapsto (x\mapsto \mathrm{tr}(F_{A_x}))$$其中 $(A_x,F_{A_x})$ 指 $(A,F_A)$ 沿含入映射 $x\to X_0$ 的上星拉回; 由于 $x$ 是 $\mathrm{Spec}({\mathbb{F}}_q)$, $A_x$ 是 $\Lambda$-完美复形, $F_{A_x}$ 是其自同构, 这里取出它的迹.

2性质

定理 2.1 (Grothendieck 迹公式). 对 ${\mathbb{F}}_q$-代数簇态射 $f:X_0\to Y_0$, 定义 $f^{\ast }:\mathrm{Fun}(Y_0({\mathbb{F}}_q);\Lambda )\to \mathrm{Fun}(X_0({\mathbb{F}}_q);\Lambda )$ 为沿 $f({\mathbb{F}}_q):X_0({\mathbb{F}}_q)\to Y_0({\mathbb{F}}_q)$ 拉回函数; 定义 $f_{!}:\mathrm{Fun}(X_0({\mathbb{F}}_q);\Lambda )\to \mathrm{Fun}(Y_0({\mathbb{F}}_q);\Lambda )$ 为沿 $f({\mathbb{F}}_q):X_0({\mathbb{F}}_q)\to Y_0({\mathbb{F}}_q)$ 各纤维求和. 则层–函数对应与两边的 $f^{\ast }$、$f_{!}$ 交换.

3范畴论描述

本节中, 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴, $n$-范畴都指 $(\infty ,n)$-范畴.

层–函数对应可用一般六函子理论中的核 $2$-范畴描述. “函数” 其实是 Frobenius 在核 $2$-范畴中的迹.

命题 3.1. 设 $\mathcal{C}$ 是有有限极限的小范畴, $\mathcal{D}:\mathsf{Span}(\mathcal{C})\to \mathsf{Cat}$ 是三函子理论. 设 $X$ 是 $\mathcal{C}$ 中的对象, $f:X\to X$ 是其自映射; 以 $X^f$ 记 $f$ 的不动点, 即 ${\mathrm{id}}_X$ 与 $f$ 的等子.

考虑函子 $f_{!}:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X)$ 在 $\mathcal{D}$ 的核 $2$-范畴 ${\mathsf{K}}_{\mathcal{D}}$ 中对应的态射 $({\mathrm{id}}_X,f{)}_{!}(1_X)\in \mathcal{D}(X\times X)={\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{K}}_{\mathcal{D}}}(X,X)$. 则此态射的迹为 $(X^f{)}_{!}(1_{X^f})\in \mathcal{D}(\mathrm{pt})={\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{K}}_{\mathcal{D}}}(\mathrm{pt},\mathrm{pt})$, 这里重载 $X^f$ 为到终对象的映射 $X^f\to \mathrm{pt}$.

证明. 回忆对称幺半范畴中态射 $T:X\to X$ 的迹定义为$$1\to X\otimes X^{\vee }\stackrel{T\otimes {\mathrm{id}}_{X^{\vee }}}{\to }X\otimes X^{\vee }\to 1$$由于 ${\mathsf{K}}_{\mathcal{D}}$ 的对象都通过 ${\Delta }_{!}1$ 自对偶, 命题中的迹是下图沿最下一路从左到右做上星下叹; $$X^{f}XXXX\times XX\mathrm{pt}X\times XX\times X\mathrm{pt}{\mathrm{id}}_X{\Delta }_X(f,{\mathrm{id}}_X){\mathrm{id}}_X{\Delta }_X{\mathrm{id}}_X\times {\mathrm{id}}_{X}f\times {\mathrm{id}}_X{\Delta }_X$$由基变换, 此即 $(X^f{)}_{!}(X^f{)}^{\ast }{1}_{\mathrm{pt}}=(X^f{)}_{!}(1_{X^f})\in \mathcal{D}(\mathrm{pt}).$

$\square$

注 3.2 (层–函数对应). 设 $X$、$Y$ 为对称幺半 $2$-范畴 $\mathcal{C}$ 的可对偶对象, $T:X\to X$、$S:Y\to Y$ 为自映射, $a$ 是 $(X,T)$ 到 $(Y,S)$ 的松态射, 即有 $a:X\to Y$ 附带 $2$-态射$$XXYYTaaS$$并设 $a:X\to Y$ 有右伴随 $a^R:Y\to X$. 则在 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(1,1)$ 中有自然映射 $\mathrm{tr}(a):\mathrm{tr}(T)\to \mathrm{tr}(S)$ 构造如下: $$X\otimes X^{\vee }X\otimes X^{\vee }11Y\otimes Y^{\vee }Y\otimes Y^{\vee }T\otimes {\mathrm{id}}_{X^{\vee }}a\otimes (a^R{)}^{\vee }a\otimes (a^R{)}^{\vee }S\otimes {\mathrm{id}}_{Y^{\vee }}$$其中左右两个三角形的 $2$-态射分别由严格交换图表$$1X\otimes X^{\vee }Y\otimes Y^{\vee }Y\otimes X^{\vee }a\otimes {\mathrm{id}}_{X^{\vee }}{\mathrm{id}}_Y\otimes a^{\vee }$$与$$X\otimes Y^{\vee }X\otimes X^{\vee }Y\otimes Y^{\vee }1{\mathrm{id}}_X\otimes a^{\vee }a\otimes {\mathrm{id}}_{X^{\vee }}$$取伴随得到.

特别地, 在命题 3.1 的条件下取 $Y=\mathrm{pt}$, 则松态射 $a:(X,f^{\ast })\to (\mathrm{pt},{\mathrm{id}}_{\mathrm{pt}})$ 可由 $A\in \mathcal{D}(X)={\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{K}}_{\mathcal{D}}}(X,\mathrm{pt})$ 以及 $\mathcal{D}(X)$ 中的映射 $f^{\ast }A\to A$ 给出. 如它有右伴随, 则它给出 $\mathcal{D}(\mathrm{pt})$ 中的映射 $\mathrm{tr}(A):(X^f{)}_{!}(1_{X^f})\to 1_{\mathrm{pt}}$. 把六函子理论 $\mathcal{D}$ 取成 $\mathbb{F}$ 上代数簇的 $\ell$ 进平展层, $f$ 取成 $X=X_0{\otimes }_{{\mathbb{F}}_q}\mathbb{F}$ 的几何 Frobenius, 则 Weil 层自带同构 $f^{\ast }A\cong A$, 且总是满足此右伴随条件. 此时 $X^f=X_0({\mathbb{F}}_q)$, ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}(X^f)}((X^f{)}_{!}(1_{X^f}),1_{\mathrm{pt}})=\mathrm{Fun}(X_0({\mathbb{F}}_q),\Lambda )$, 上述构造给出的 $\mathrm{tr}(A)$ 就是层–函数对应.

4相关概念

•	迹 (范畴论)
•	Weil 猜想

术语翻译

层–函数对应 • 英文 sheaf-function correspondence