几何实现 (单纯集)

关于其它含义, 请参见 “几何实现”.

几何实现是一种将单纯集转化为拓扑空间的方式. 给定单纯集 $X$, 其几何实现是将 $X$ 中每个 $n$ 维单形赋予一个作为拓扑空间的标准 $n$ 维单形, 再将这些标准 $n$ 维单形按 $X$ 的结构粘起来, 而得到的拓扑空间. 此构造是左 Kan 扩张的特例.

例如, 单纯集 $\Delta [n]$ 的几何实现就是标准 $n$ 维单形 ${\Delta }^n$.

1定义

定义 1.1 (几何实现). 单纯集的几何实现是指函子 $|-|:\mathsf{sSet}\to \mathsf{Top}$, 它定义为左 Kan 扩张$$\mathbb{\Delta }\mathsf{sSet}\mathsf{Top}[n]\mapsto {\Delta }^{n}y|-|$$其中 $y$ 为 Yoneda 嵌入. 从而 $|-|:={\mathrm{Lan}}_y([n]\mapsto {\Delta }^n)$. 根据左 Kan 扩张的具体构造可知单纯集 $X$ 的几何实现可以刻画为余极限 $|X|={\mathrm{colim}}_{(n,x)}{\Delta }^n$. 此处 $(n,x)$ 所构成的范畴中态射为使得以下图表交换的态射 $f\in \mathbb{\Delta }([n],[m])$ : $$\Delta [n]\Delta [m]Xfxy$$这也相当于要求 $f^{\ast }:X_m\to X_n$ 满足 $f^{\ast }(y)=x$.

根据上述构造, 对于所有 $n\in \mathbb{N}$ 以及 $x\in X_n$, 根据余极限性质给出典范态射 $i_{n,x}:{\Delta }^n\to |X|$, 当 $(n,x)$ 变动时满足相容性. 由于在拓扑空间范畴中余极限可以体现为商空间, 由此几何实现可以具体的刻画为商空间$$|X|=\frac{{\coprod }_{n\ge 0}{X}_n\times {\Delta }^n}{(f^{\ast }(y),t)\sim (y,|f|(t))},(f^{\ast }(y),t)X_n{\Delta }^n[n](y,|f|(t))X_m{\Delta }^m[m]\in \times |f|f\in f^{\ast }\times$$依照几何直观, 可将单纯集 $X$ 的几何实现试想为以下空间以及其粘接: $X_0,\cdots ,X_n$ 相当于 $X_0$ 的基数份的 ${\Delta }^0$, $\cdots$, $X_n$ 的基数份的 ${\Delta }^n$, 依照 $f^{\ast }:X_m\to X_n$ 进行组装, 由于 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射均可唯一地分解为保序满射和保序单射的合成, 因此后文中只给出面态射和退化态射所对应的组装方式.

•	取 $d^i:[n-1]\hookrightarrow [n]$, 则 $|d^i|$ 将 $\{d_i(x)\}\times {\Delta }^{n-1}$ 嵌入 $\{x\}\times {\Delta }^n$. 因此面态射 $d_i:X_n\to X_{n-1}$ 的效果等同于指定对应于 $x$ 的 $n$ 维单形的第 $i$ 个面 (即 $d_i(x)$), 依次黏合.
•	取 $s^j:[n+1]\twoheadrightarrow [n]$ 将 $\{s_j(x)\}\times {\Delta }^{n+1}$ “压入” 为 $\{x\}\times {\Delta }^n$. 因此退化态射 $s_j:X_n\to X_{n+1}$ 的效果等同于指定对应于 $x$ 的 $n$ 维单形放在 $n+1$ 维 “退化” 单形的第 $j$ 个面.

由此可知退化 $n$ 维单形在粘合时是无关紧要的, 但是退化的信息仍是必要的.

2性质

命题 2.1. 选定紧生成空间范畴 $\mathsf{CG}$, 则几何实现函子保有限极限. 特别地, 对于单纯集 $X$, $Y$. 有典范同构$$|X\times Y|\simeq |X|\times |Y|$$若 $X$ 和 $Y$ 其中之一仅有有限多个非退化单形, 上述同构在 $\mathsf{Top}$ 中也成立.

命题 2.2. 几何实现函子是奇异集函子的左伴随.

证明. 由实现-脉伴随立知.

$\square$

3相关概念

•

实现-脉伴随

术语翻译

几何实现 • 英文 geometric realization