尺规作图

平面几何中, 尺规作图是指利用无刻度直尺和圆规作图的方法.

在复平面上, 尺规作图可作出的复点称为规矩数, 构成一个域.

1定义

定义 1.1 (规矩数). 规矩数集 $L$ 是最小的满足如下性质的 $\mathbb{C}$ 的子集:

•	$0\in L,1\in L$;
•	对于两不同的规矩数 $A\ne B\in L$, 可以进行如下两种操作: ∘ 构造穿过 $A,B$ 的唯一直线. ∘ 构造以 $A$ 为圆心且穿过 $B$ 的唯一圆. 两个被构造直线的交点, 两个被构造圆的交点, 以及一个被构造直线与被构造圆的交点均属于 $L$.

2性质

命题 2.1. 规矩数集 $L$ 是 $\mathbb{C}$ 的子域.

命题 2.2. 规矩数域 $L$ 对平方根运算封闭, 换句话说: 若 $a\in L$, 则 $\mathbb{C}$ 中方程 $x^2-a=0$ 的所有解属于 $L$.

命题 2.3. 规矩数域 $L$ 是代数数构成的域的子域. 进一步, $L$ 中每一个元素都是某 $2^n$ 次有理系数首一多项式的根.

命题 2.4 (尺规作图三大难题不可解). $\sqrt[3]{2},\cos \frac{\pi }{9},\pi$ 均不属于规矩数域 $L$.

3相关概念

术语翻译

尺规作图 • 英文 straightedge-and-compass construction • 德文 Konstruktion mit Zirkel und Lineal • 法文 construction à la règle et au compas