次生陈类

次生陈类是对复线性局部系定义的示性类, 比陈类更精细. 对空间 $X$ 上的秩 $n$ 复局部系 $E$, 其 $n$ 个次生陈类为普通上同调类$${\hat{c}}_k(E)\in H^{2k-1}(X,\mathbb{C}/\mathbb{Z}(k)),$$其中 $\mathbb{Z}(k)=(2\pi \mathrm{i}{)}^k\mathbb{Z}\subset \mathbb{C}$. 其直观可描述如下: 当 $X$ 是光滑流形时, 局部系可视为带平坦联络的光滑向量丛, 即其曲率形式为 $0$; 于是由陈–Weil 理论, 其复系数陈类都是 $0$; 次生陈类是此事的见证.

1定义

Beilinson–Deligne

Cheeger–Simons

2例子

•	当 $k=1$ 时, ${\hat{c}}_1(E)\in H^1(X,\mathbb{C}/\mathbb{Z}(1))$ 就是上同调类 $[\det (E)]\in H^1(X,{\mathbb{C}}^{\times })$ 在同构 $\log :{\mathbb{C}}^{\times }\cong \mathbb{C}/\mathbb{Z}(1)$ 下的像.

3相关概念

•	Deligne 上同调
•	Borel 调节子

术语翻译

次生陈类 • 英文 secondary Chern class