浸入 (微分几何)

关于其它含义, 请参见 “浸入”.

在微分几何中, 浸入是光滑流形间的一类光滑映射. 与嵌入类似, 浸入也是将某个流形放入另一个流形中, 但浸入允许流形 “与自己相交”. 例如, 平面上与自身相交的曲线常常可以看成 $\mathbb{R}$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的浸入.

1定义

定义 1.1 (浸入). 设 $X,Y$ 为光滑流形, $f:X\to Y$ 为光滑映射. 称 $f$ 为浸入, 若满足以下条件:

•	对任意 $x\in X$, 切映射 $d{f}_x:{\mathrm{T}}_{x}X\to {\mathrm{T}}_{f(x)}Y$ 是单射.

有时, 使用记号 $f:X\looparrowright Y$ 表示 $f$ 是浸入.

定义 1.2 (浸入子流形). 设 $X,Y$ 为光滑流形, $f:X\to Y$ 为光滑映射. 若满足以下条件:

•	$f$ 是单射, 且是浸入,

则可将 $X$ 视为 $Y$ 的子集, 并称之为 $Y$ 的浸入子流形.

注意, 浸入子流形并不一定是子流形, 这是数学术语中白马非马的一个例子.

2例子

•	光滑流形间的所有嵌入都是浸入.

•	光滑流形间的所有覆叠都是浸入.

•

考虑环面 $T^2=S^1\times S^1$, 取 $\alpha \in \mathbb{R}$. 考虑光滑映射$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}& ⟶T^2,\\ t& \mapsto ({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t},{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha t}).\end{array}$$则 $f$ 是浸入, 但不是嵌入. 当 $\alpha \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ 时, $f$ 是单射, 从而是 $T^2$ 的浸入子流形, 但不是子流形. 其像在是 $T^2$ 中是稠密的.

3性质

基本性质

命题 3.1 (局部形式). 设 $f:X\to Y$ 是浸入, 则对任意 $x\in X$, 存在 $x$ 的开邻域 $U$ 和其上的局部坐标 $x^1,\dots ,x^m$, 以及 $f(x)$ 的开邻域 $V$ 和其上局部坐标 $y^1,\dots y^n$, 使得 $f$ 在这个局部坐标下可以写为$$(t_1,\dots ,t_m)\mapsto (t_1,\dots ,t_m,0,\dots ,0)$$的形式.

证明. 这是常秩定理的特例.

$\square$

这个命题保证了浸入子流形的光滑结构的唯一性.

命题 3.2 (光滑结构唯一性). 设 $X$ 是光滑流形, $Z$ 是拓扑流形, $f:Z\to X$ 是连续映射. 则 $Z$ 上至多存在一种光滑结构, 使得 $f$ 是浸入.

4参考文献

•	J. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2ed. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer.

•	V. S. Varadarajan (2013). Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations. Graduate Texts in Mathematics 102. Springer New York.

术语翻译

浸入 • 英文 immersion • 法文 immersion