用户: Cybcat/曲线模空间/JS第一讲

1第一讲

动机

首先让我们考虑一个平凡例子: 有限维 $K$-线性空间 $V$ 的 " 分类 ", 实际上 $V\cong V^{\prime }$ 当且仅当 $\dim V=\dim V^{\prime }$, 即: $$\{\text{有限维}K\text{-线性空间}\}/\text{等价}\leftrightarrow {\mathbb{Z}}_{\ge 0},[V]\mapsto \dim V.$$这是一个给很复杂的东西找到很简单刻画的例子.

然而对于代数几何学家, 他们更想分类代数曲线, 曲线是某种非平凡的最简单对象, 至少是一个良好的起点. 我们采用代数曲线的定义是: 一个纯一维, 域上分离既约有限型概形. 这当然还是太一般了, 但是其实也离我们马上要看的具体情形不远:

比如让我们简单思考 $\mathbb{C}$ 上的光滑不可约射影 (域上一维时, 射影等价于紧合) 曲线在等价类下的分类. 一般来说, 光滑能很好地限制曲线的表现, 稍微放松一点条件的话, 我们允许节点 (nodal) 出现. 不可约是自然的, 因为总可以先研究不可约分支. 然后在 $\mathbb{C}$ 上看问题是因为我们可以用黎曼面思考, 有时候这在几何上帮助我们拿到一个具体的形状, 比如甜甜圈.

最后是射影, 对于除了射影以外, 上述其他条件都满足的曲线能嵌入射影曲线, $C^{\prime }\subset C$, 这称为紧化. 我们能使得 $C^{\prime }\backslash C$ 只包含有限多个点, 而且这个紧化同构下唯一, 当然, 讨论曲线上的有限多个点比起讨论子曲线是更加简单而便利的. 让我们记

$$\mathcal{M}:=\{\text{光滑不可约射影复曲线}\}/\text{等价}.$$

还是回到这个问题本身来, 我们到底能对 $\mathcal{M}$ 说什么呢? 让我们多看看这些好的代数曲线的例子.

例子

例 1.1 (射影空间). 射影空间 ${\mathbb{P}}^1$ 是由两个 ${\mathbb{A}}^1$ 粘起来得到的, 而在 $\mathbb{C}$ 上看 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1$ 就是一个二维球面. 无需多言, 大家很熟悉.

例 1.2 (椭圆曲线的 Legendre 族). 这个就不那么简单了, 考虑 $E_t\subset {\mathbb{P}}^2$ 是这样一族椭圆曲线: $$E_t:=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2:Y^{2}Z+X(X-Z)(X-tZ)=0\},t\in \mathbb{C}.$$不难检查 $t\ne 0,1$, 曲线是光滑的, 此时它同胚 (甚至解析同构) 于某个甜甜圈 $\mathbb{C}/\Gamma$, 其中 $\Gamma$ 是 $\mathbb{C}$ 上的一个二维格.

例 1.3. 更加一般的, 对一个黎曼面, 我们不仅能拓扑地定义它的亏格, 看成 " 洞 " 的数量, 还可以有 de Rham 上同调定义, 而代数上完全一样地定义$$g(C):=\dim H^0(C,{\Omega }_C).$$即余切丛整体截面的维数作为亏格. 有兴趣的读者可参考代数 de Rham 上同调.

当然, 亏格是一个完美的同构不变量, ${\mathbb{P}}^1$ 的亏格是 $0$, 诸 $E_t$ 亏格 $1$, 所以我们可以用 ${\mathcal{M}}_g$ 表示 $\mathcal{M}$ 中亏格 $g$ 者.

例 1.4. 亏格 $0$ 只能是 ${\mathbb{P}}^1$, 然而诸 $E_t$ 并不一定同构, 实际上 $E_t\cong E_s$ 当且仅当$$s\in \left\{t,\frac{1}{t},1-t,\frac{1}{1-t},\frac{t-1}{t},\frac{t}{t-1}\right\}.$$如果读者学过 j-不变量以及模形式, 就很容易证明这一点, 实际上我们能通过 $j$ 不变量来完全分类椭圆曲线 (${\mathcal{M}}_1$). $$j(E_t)=2^8\frac{(t^2-t+1{)}^3}{t^2(t-1{)}^2}.j(t):{\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^1\backslash \{0,1\}\to {\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^1.$$一般来看, 椭圆曲线的 " 分类空间 " 应当是 ${\mathbb{A}}^1$, 靠 $j$ 不变量的取值就能完全确定一条非退化椭圆曲线的形状, 然而有趣的是 $j=\infty$ 当且仅当椭圆曲线退化, 这意味着如果我们在考虑椭圆曲线族的时候可能需要把这个点加进来, 甚至可能需要在以后在各种地方加入更多的点.

我们其实有一个完全的椭圆曲线代数分类, 陈述如下:

例 1.5. 椭圆曲线的 "模空间 ".

(1) 存在代数簇 $U$ 参数化一族曲线 $C_t,t\in U$, 使得任意 ${\mathcal{M}}_1$ 中的元素 (椭圆曲线) 都出现在其中.

(2) $U$ 是光滑连通的, 所以任意两个 ${\mathcal{M}}_1$ 中的元素能通过该参数族形变为对方.

(3) 存在代数簇 $M$ 和满射 $U\to M$ 使得任意 $C_t\cong C_s$ 当且仅当它们在 $M$ 中的像一致.

这里的 $C_t$ 族可以取成 Legendre 族 $U={\mathbb{A}}^1\backslash \{0,1\}$, 然后 $M={\mathbb{A}}^1$ 就是 $j$ 不变量的空间, $U\to M$ 即取 $t\mapsto j(E_t)$.

然而问题是什么呢? 在 $g\ge 2$ 时, $M$ 不是光滑的. $g\ge 4$ 时它的奇异子簇恰好对应了曲线具有非平凡自同构的情形. 对 $g\ge 1$, $C_t,t\in U$ 这一族曲线不能下降为 $M$ 上的一族曲线, 然而 $M$ 上没有非平凡自同构的部分就能完成下降. 我们从中看见, 曲线的自同构是分类问题中的一大硬骨头.

比较搞笑的是, 椭圆曲线上有加法群结构, 这告诉我们椭圆曲线总具有非平凡自同构 (加法平移), 然而这竟没有对上述 ${\mathcal{M}}_1$ 产生影响 (?!). 真的是这样吗? 这是一个 bug 还是一个特性? 让我们在后面的笔记中逐渐观察这些事实.

然而我们也有希望, 在后文我们会引入并且详细地介绍代数叠的概念, 作为概形的推广, 我们应该把 $M$ 视作代数叠. 此外我们还会考虑紧化 $\overline{{\mathcal{M}}_g}$, 这是因为 $g\ge 1$ 时他们不是紧的, 紧化之后能更方便地讨论上同调, 更好的是紧化给我们带来奇点的研究, 比如 Legendre 族中的 $E_0$, 让我们看看仿射局部即 $y^2=x^2(x-1)$. 读者立刻发现这正是节点曲线的一个简单的非平凡例子. 是的在研究 ${\mathcal{M}}_g$ 紧化的过程中, 我们也要把这些节点曲线加进来.

Working with noncompact spaces is like trying to keep change with holes in your pockets. ——Angelo Vistoli