用户: Cybcat/Picard–Fuchs 方程的算术

我们先从 Ignacio Darago 的 On the Arithmetic of Picard-Fuchs equation 开始. 我们的目标是攫取一个特定的常微分方程的解的算术信息: 这个看起来完全来自分析的对象, Picard–Fuchs 方程, 背后竟然隐藏了惊天秘密?!

1椭圆曲线玩具

$\bullet$ 我们的第一个优秀例子是著名的 Legendre 族椭圆曲线, 如下面的方程给出$$y^2=x(x-1)(x-\lambda ).$$这个族对 $\lambda \in {\mathbb{P}}^1\backslash \{0,1,\infty \}$ 表现良好, 在这些地方对应的曲线是光滑的 (不过这个区域的基本群也很巨大, 是两个字生成的自由群, 这个我们以后再说), 不过大体来说, 这也展示了我们将要讨论问题的具体语境:

$\bullet$ 一个代数簇的族 (Family) 包含资料 $\pi :\mathcal{X}\to S$ 是一个平坦映射. 对 $s\in S$, 称 $X_s:={\pi }^{-1}(s)$ 为其纤维. 一般如果 $\pi$ 是光滑射影映射, 那么 $X_s$ 都是光滑代数簇.

$\circ$ 而且如果我们在 $\mathbb{C}$ 上讨论, 在光滑射影条件下, 解析拓扑下就会有 $\pi$ 紧合, 我们通常要求 $\pi$ 是浸没, 这就能证明局部上都是平凡纤维化, 即对每个 $s\in S$ 存在开邻域 $U\subset S$ 使得通过 $\pi$ 给出同构 ${\pi }^{-1}(U)\cong X_s\times U$. 那么 Ehresmann 定理声称此时有常值层的导出前推层 $(R^i{\pi }_{\ast }\underline{\mathbb{C}}{)}_s=H^i(X_s,\mathbb{C})$.

此时, 拓扑结构不会随着族而改变, 但是复结构会发生改变! 这里的 Legendre 族就是典型的例子.

$\bullet$ 这时候, 由于 Riemann–Hilbert 对应, 我们知道局部系与带平坦联络的向量丛是一一对应的. $$\begin{array}{rlrlrl}\{\text{Local Systems}\}& & \leftrightarrow & & & \{\text{Vector Bundles with Flat Connection}\}\\ \text{Solutions}{E}^{\nabla }& & \leftarrow |& & & (E,\nabla )\\ L& & \mapsto & & & (E=L{\otimes }_{\mathbb{C}}\mathcal{O},\nabla =\mathrm{id}\otimes d)\end{array}$$

$\circ$ 这意味着从局部系对应 de Rham 向量丛 $R^i{\pi }_{\ast }{\Omega }_{\mathcal{X}/S}^{\bullet }=R^i{\pi }_{\ast }\underline{\mathbb{C}}{\otimes }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_S$ 入手 (也就刻画了纤维 De Rham 上同调的形变), 我们得到一个平坦联络 $\nabla (\alpha \otimes f)=\alpha \otimes df$, 这就是大名鼎鼎的 Gauss–Manin 联络.

$\bullet$ 在 Legendre 族的情形中, $\{X_s{\}}_{s\in S}$ 已经是光滑射影曲线族, 也就是说 ${\mathcal{O}}_S$-模 $R^1{\pi }_{\ast }{\Omega }_{\mathcal{X}/S}$ 是局部自由 rank 为 $2$ 的丛, 这意味着对任意截面 $\omega$, 都有 $\omega ,{\nabla }_{d/ds}\omega ,{\nabla }_{d/ds}^2\omega$ 线性相关. 也就是说如果我们给定同调类 ${\gamma }_s\in H_1(X_s,\mathbb{Z})$, 那么 $P(s):={\int }_{{\gamma }_s}\omega$ 将满足$$a_2(s)\frac{d^2}{d{s}^2}P(s)+a_1(s)\frac{d}{ds}P(s)+a_0(s)P(s)=0.$$这条方程就是所谓的 Picard–Fuchs 方程.

$\circ$ 现在我们具体地计算, 对于 Legendre 族, 全纯 $1$-形式为 $\omega (\lambda )=dx/y$, 即$$\omega (\lambda )=\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda )}}.$$现在对它作用 ${\nabla }_{d/d\lambda }$, 由于我们已经展示了其联络就是直接对 $\lambda$ 求导, 所以立刻得到$$\nabla \omega =\frac{1}{2}\cdot \frac{dx}{(x-\lambda )\sqrt{x(x-1)(x-\lambda )}},{\nabla }^2\omega =\frac{3}{4}\cdot \frac{dx}{(x-\lambda {)}^2\sqrt{x(x-1)(x-\lambda )}}.$$适当地拼凑这些项就得到$$\lambda (\lambda -1){\nabla }^2\omega +(2\lambda -1)\nabla \omega +\frac{1}{4}\omega =d\left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda )}}{(x-\lambda {)}^2}\right).$$也就是说此时的 Picard–Fuchs 方程就是我们熟知的 Gauss 超几何方程 (其中 $\alpha =\beta =1/2,\gamma =1$): $$z(z-1)y^{\prime \prime }(z)+((\alpha +\beta +1)z-\gamma )y^{\prime }(z)+\alpha \beta y(z)=0.$$所以它具有一个有名的全纯解, 是一个超几何级数: $$P_1(\lambda )={}_2{F}_1\left(\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1& \end{array}|\lambda \right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n}\right)}^2{\lambda }^n=1+\frac{1^2}{2^2}\lambda +\frac{1^2\cdot 3^2}{2^2\cdot 4^2}{\lambda }^2+\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2}{\lambda }^3+\cdots .$$同时还有一个不那么有名的对数解$$P_2(\lambda )=P_1(\lambda )\cdot \log \lambda +Q(\lambda ),Q(\lambda )=\frac{1}{2}\lambda +\frac{21}{32}\frac{{\lambda }^2}{2!}+\frac{185}{128}\frac{{\lambda }^3}{3!}+\frac{18655}{4096}\frac{{\lambda }^4}{4!}+\cdots .$$因为是二阶常微分方程, 结合线性无关性, 可以检查二者 $\{P_1,P_2\}$ 构成了解空间的一组基. 第二个解带 $\log$ 的根本原因是 Picard–Fuchs 方程在原点处具有 monodromy $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$. 也就是说, 当我们绕着 $0$ 转一圈后, 会发现其中一个周期没动 (全纯的那个), 然后另一个多加了一份全纯周期, 这就解释了 $P_1\cdot \log$ 一项.

2有限域数点

$\bullet$ 最一般的视角下, 设 $X$ 是一个 ${\mathbb{F}}_p^a$ 上的射影代数簇, 我们有 Frobenius 映射 ${\mathrm{Frob}}_p:X\to X$, 它的不动闭点恰是那些 $X$ 上的 ${\mathbb{F}}_p$ 点, 也就是 $X({\mathbb{F}}_p)$. 那么我们有下面的公式:

定理 2.1 (Woods Hole 迹公式). 我们有$$\#X({\mathbb{F}}_p)\equiv \sum _{i=0}^{\dim X}(-1{)}^i\mathrm{Tr}({\mathrm{Frob}}_p^{\ast }:H^i(X,{\mathcal{O}}_X)\to H^i(X,{\mathcal{O}}_X))\mathrm{mod}p.$$这里 $H^i$ 表示层上同调.

$\circ$ 最常见的情形, 如果 $f(x_0,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{F}}_p[x_0,\cdots ,x_n]$ 是齐 $d$ 次多项式, 那么 $f=0$ 定义了超平面 $Z\subset {\mathbb{P}}^n$. 则$$0\to {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(-d)\stackrel{\cdot f}{\to }{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}\to {\mathcal{O}}_Z\to 0.$$如果还有 $d<n+1$, 那么根据 Serre 对偶可以计算出 $H^i(Z,{\mathcal{O}}_Z)=0$ 对一切 $i>0$, 于是 $\#Z({\mathbb{F}}_p)\equiv 1\mathrm{mod}p$. 这也给出 Chevalley–Warning 定理的一个证明. 只不过很可惜, 我们关心的情况都是 $d\ge n+1$ 的.

$\bullet$ 对于 $d=3,n=2$, 此时前面的正合列诱导了$$\delta :H^1(Z,{\mathcal{O}}_Z)\stackrel{\cong }{\to }{H}^2({\mathbb{P}}^2,{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(-3)),$$

$\circ$ 现在我们就能用 Cech 上同调来具体计算, 现在 $H^2({\mathbb{P}}^2,\mathcal{O}(-3))$ 是一维的, 经过一些具体计算, Frobenius 的作用效果是取了 $f^{p-1}$ 的 $(x_0{x}_1{x}_2{)}^{p-1}$ 系数. 所以对椭圆曲线来说, $Z$ 的 ${\mathbb{F}}_p$-点数为$$\#Z_{\{f=0\}}({\mathbb{F}}_p)\equiv 1-[(x_0{x}_1{x}_2{)}^{p-1}]f^{p-1}\mathrm{mod}p.$$

$\bullet$ 现在我们代入 Legendre 族的方程 $f=x_1^2{x}_2-x_0(x_0-x_2)(x_0-\lambda x_2)$. 不难发现 (当然这里用二次剩余也能证明), 就是要寻找$$[x^{(p-1)/2}]((x-1)(x-\lambda ){)}^{(p-1)/2}.$$根据二项式定理, 我们展开得到$$\#Z({\mathbb{F}}_p)\equiv 1-(-1{)}^{(p-1)/2}\sum _{r=0}^{(p-1)/2}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{(p-1)/2}{r}\right)}^2{\lambda }^r\equiv 1-(-1{)}^{(p-1)/2}\sum _{r=0}^{(p-1)/2}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{r}\right)}^2{\lambda }^r.$$

$\circ$ 这个形式与 PF 方程相同并不是一个巧合, 实际上 Serre 对偶告诉我们$$H^1(E_{\lambda },{\mathcal{O}}_{E_{\lambda }})\cong H^0(E_{\lambda },{\Omega }_{E_{\lambda }}^1).$$这意味着我们可以把它看作微分形式的整体截面, 而微分形式 $\omega (\lambda )$ 自然应该符合 PF 方程.

让我们来观察最经典的例子, 对于 $\lambda =-1$, 我们计算得到

$p$	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41
$E_{-1}({\mathbb{F}}_p)\mathrm{mod}p$	1	3	1	1	-5	-1	1	1	11	1	3	-9

这和程序数点得到的结果是完全一致的, 非常令人满意.

另一个值得尝试的族是 $x_0^3+x_1^3+x_2^3-3s{x}_0{x}_1{x}_2=0$, 它对应的解为$$P_1(s)=\sum _{n\ge 0}\frac{(3n)!}{(n!{)}^3}\cdot \frac{1}{(3s{)}^{3n}}.$$读者可以检查, 这个椭圆曲线族对应的 $a_p$ 正是 $P_1(s)\mathrm{mod}p$ 直接决定的. 这里更加精确的描述是, 在有限域上求和 $P_1$ 只需从 $0$ 求到 $p-1$. 对于前面的 Legendre 族, 则需要乘上修正的系数 $(-1{)}^{(p-1)/2}$.

3$L$-函数

让我们来计算椭圆曲线的 $L$-函数. 当我们拿到数点信息之后, 我们就可以计算局部 $L$-因子, 然后拼凑出整体的. 定义$$L_p(s,E):=\{\begin{array}{ll}(1-a_p\cdot p^{-s}{)}^{-1},& \text{bad reduction prime}p\\ (1-a_p\cdot p^{-s}+p\cdot p^{-2s}{)}^{-1},& \text{good reduction prime}p.\end{array}$$其中 $p$ 取遍全体素数, 然后 $a_p=p+1-\#E({\mathbb{F}}_p)$, 将局部因子乘起来后, 整体 $L$ 函数 $L(s,E)={\prod }_p{L}_p(s,E)$ 为全体局部处 $L_p$ 的乘积. 现在 $L(s,E)={\sum }_{n\ge 1}{a}_n{n}^{-s}$ 的系数 $\{a_n\}$ 就会对应 Fourier 展开的 $q$-级数 (或说生成函数)${\sum }_n{a}_n{q}^n$. 注意这里我们用的记号 $a_n$, 和前面定义局部 $L$-因子时用的 $a_p$ 是同样的记号, 不难证明, $p$ 是素数时确实二者等同.

那么对于我们方才计算过的例子 $y^2=x(x-1)(x+1)=x^3-x$, 由于在 $p=2$ 处是坏约化, 其他地方是好约化, 这样从 $a_p$ 的表格出发

$p$	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41
$a_p$	0	0	-2	0	0	6	2	0	0	-10	0	-2	10

我们得到了对应的 $q$-级数$$f(q)=q-2q^5-3q^9+6q^{13}+2q^{17}-q^{25}-10q^{29}-2q^{37}+10q^{41}+6q^{45}-7q^{49}+\cdots .$$神奇之处就是, 该 $q$-级数正是模形式 $32.2.a.a$, 而且更奇妙的是, 它还具有 $\eta$ 乘积形式: $$f(q)=\eta (4z{)}^2\eta (8z{)}^2=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{4n}{)}^2(1-q^{8n}{)}^2.$$而这正是著名的 Elliptic Curve Modularity 模性定理:

定理 3.1 (Wiles, Taylor, Diamond, Conrad, Bruil). 设 $E/\mathbb{Q}$ 是椭圆曲线, 其 $L$-函数定义的 Fourier 级数$$f(z)=\sum _{n\ge 1}{a}_n{e}^{2\pi inz}$$将是上半平面的, 对正整数 $N=\mathrm{cond}(E)$ 的模群 ${\Gamma }_0(N)$ 的权 $2$ 尖形式, 这里 $\mathrm{cond}(E)$ 表示 $E$ 的导子 (conductor). 或者等价地说, 这里的模性即 $f(z)dz$ 是 ${\Gamma }_0(N)$-不变的.

类似的过程我们也能对 $x^3+y^3+z^3=0$ 进行, 对这条曲线我们有唯一坏约化 $p=3$, 计算得到

$p$	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41
$a_p$	0	0	0	-1	0	5	0	-7	0	0	-4	11	0

它对应了 $q$-级数 $27.2.a$, 同时也具有 $\eta$ 乘积形式$$\begin{array}{rl}f(q)& =q-2q^4-q^7+5q^{13}+4q^{16}-7q^{19}-5q^{25}+2q^{28}-4q^{31}+11q^{37}+8q^{43}-6q^{49}\\ & =\eta (3z{)}^2\eta (9z{)}^2=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{3n}{)}^2(1-q^{9n}{)}^2.\end{array}$$