Chevalley–Warning 定理

Chevalley–Warning 定理是由 Claude Chevalley 与 Ewald Warning 于 1935 年证明的结果, 说的是如有限域上方程组的元数比各方程次数之和高, 则其零点个数被域的特征整除.

1定理与证明

定理 1.1. 考虑有限域 ${\mathbb{F}}_q$, 设 $p$ 为其特征. 设 $f_1,\dots ,f_r\in {\mathbb{F}}_q[X_1,\dots ,X_n]$ 是次数分别为 $d_1,\dots ,d_r$ 的多项式, 满足$$\sum _{i=1}^r{d}_i<n.$$则 $p\mid \#Z(f)$, 其中$$Z(f)=\{(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{F}}_q^n\mid f_i(x_1,\dots ,x_n)=0,i=1,\dots ,r\}.$$

证明. 由 Fermat 小定理, 对 $x\in {\mathbb{F}}_q$, $$1-x^{q-1}=\{\begin{array}{ll}1,& x=0;\\ 0,& x\ne 0.\end{array}$$因此, 令 $F={\prod }_{i=1}^r(1-f_i^{q-1})$, 就有$$F(x_1,\dots ,x_n)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in Z(f);\\ 0,& x\notin Z(f).\end{array}$$于是 $p\mid \#Z(f)$ 便等价于$$\sum _{(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{F}}_q^n}F(x_1,\dots ,x_n)=0.$$这是下面的引理.

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引理 1.2. 如 $0\le d<q-1$, 则$$\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}{x}^d=0.$$如 $F\in {\mathbb{F}}_q[X_1,\dots ,X_n]$ 的次数小于 $n(q-1)$, 则$$\sum _{(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{F}}_q^n}F(x_1,\dots ,x_n)=0.$$

证明. 有限域的乘法群循环. 取 ${\mathbb{F}}_q^{\times }$ 的生成元 $g$, 则 $g^d\ne 1$. 而 “乘以 $g$” 是 ${\mathbb{F}}_q$ 到自身的双射, 于是$$g^d\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}{x}^d=\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}(gx{)}^d=\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}{x}^d;$$所以 ${\sum }_{x\in {\mathbb{F}}_q}{x}^d=0$. 至于那个关于多项式的命题, 显然只需对单项式证. 由抽屉原理, 小于 $n(q-1)$ 次的单项式中必有一个变元的次数小于 $q-1$, 用乘法分配律将其提出去即得欲证.

$\square$

2推论

如定理中的多项式常数项都是 $0$, 比如它们都是正次数的齐次式, 则由于 $0\in Z(f)$, 由 $p\mid \#Z(f)$ 即知方程组有非零的零点. 特别地, 有限域上次数小于元数的齐次多项式有非平凡零点. 换言之, 有限域都 ${\text{C}}_1$.

3相关概念

•	组合零点定理
•	Ax–Katz 定理

术语翻译

Chevalley–Warning 定理 • 英文 Chevalley–Warning theorem • 德文 Satz von Chevalley–Warning • 法文 théorème de Chevalley–Warning