约化群

在代数几何中, 约化群是一类代数群, 它包括所有半单代数群, 例如 $SL (n)$ 、 $SO (n)$ 、 $Sp (n)$ , 也包含一些其它的群, 例如 $GL (n)$ 、代数环面. 称这类群为约化群的原因是, 大致而言, 这些群的有限维表示都可分解为不可约表示的直和 (定理 1.4).

约化群大致刻画的是某种关于矩阵对角线的对称性. 例如, 所有 $2 \times 2$ 可逆上三角阵构成的群不是约化群, 因为若考虑其标准的二维表示, 则它有一个一维不变子空间, 从而不是不可约表示, 但它不能写成该子空间和另一个不变子空间的直和.

1定义

定义 1.1. 域 $k$ 上的仿射代数群 $G$ 称为约化群, 是指其满足下列条件:

•	$G$ 连通、光滑.

•	$G_{\overset{ˉ}{k}}$ 的幂幺根是平凡群, 其中 $\overset{ˉ}{k}$ 是 $k$ 的代数闭包.

这里, 若 $k$ 的特征为 $0$ , 则 $G$ 自动是光滑的, 这是 Cartier 定理.

例如, 若 $G$ 为 $2 \times 2$ 可逆上三角阵的群, 则其幂幺根为形如 $(10 * 1)$ 的矩阵构成的子群, 从而不是约化群.

约化群也可以推广到一般的底概形上:

定义 1.2. 设 $S$ 是概形. 则 $S$ 上的群概形 $G \to S$ 称为约化群概形, 是指其满足下列条件:

•	$G \to S$ 是仿射、光滑态射.

•	对任何代数闭域 $\overset{ˉ}{k}$ 及态射 $s : Spec \overset{ˉ}{k} \to S$ , 纤维 $G_{s} = G \times_{S} Spec \overset{ˉ}{k}$ 是域 $\overset{ˉ}{k}$ 上的约化群.

定义 1.3. 域 $k$ 上的仿射代数群 $G$ 称为线性约化群, 是指其满足下列条件:

•	$G$ 在 $k$ 上的所有有限维表示都能分解成不可约表示的直和. 换言之, 这些表示构成的范畴 $Rep_{k} (G)$ 是半单范畴.

下列结论将约化群与线性约化群联系起来, 这也是约化群得名的原因.

定理 1.4. 设 $k$ 是域, $G$ 是 $k$ 上的仿射代数群. 记 $G^{\circ} \subset G$ 为单位元所在的连通分支.

•	若 $k$ 的特征为 $0$ , 则 $G$ 是线性约化群等价于 $G^{\circ}$ 是约化群.

•	若 $k$ 的特征为 $p \neq = 0$ , 则 $G$ 是线性约化群等价于 $G^{\circ}$ 是乘性群, 且 $G$ 的连通分支个数不被 $p$ 整除.

•	J. S. Milne (2011). Algebraic groups, Lie groups, and their arithmetic subgroups. (pdf)

•	B. Conrad (2014). Reductive group schemes. (pdf)

术语翻译

约化群 • 英文 reductive group

线性约化群 • 英文 linearly reductive group