(∞,1)-算畴代数

$(\infty ,1)$-算畴代数是高阶代数中的基本概念, 是算畴代数的 $\infty$ 版本推广. 利用 $(\infty ,1)$-算畴代数, 可以刻画同伦意义下的代数结构. 例如, ${\mathbb{E}}_n$-代数或 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-代数是交换代数的推广, 而 ${\mathbb{A}}_n$-代数或 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数是结合代数的推广; 它们分别定义为 ${\mathbb{E}}_n$ 算畴, ${\mathbb{E}}_{\infty }$ 算畴, ${\mathbb{A}}_n$ 算畴, ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 算畴上的 $(\infty ,1)$-算畴代数.

1定义

定义 1.1 ($(\infty ,1)$-算畴代数). 设 $p:{\mathcal{O}}^{\otimes }\to \mathfrak{N}({\mathsf{Fin}}_{\ast })$ 为 $(\infty ,1)$-算畴, ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 为对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴, 亦看作 $(\infty ,1)$-算畴. 则 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 中的 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$-代数即为 $(\infty ,1)$-算畴态射 ${\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 即 $\infty$-范畴函子 ${\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 使得如下图表交换: $${\mathcal{O}}^{\otimes }{\mathcal{C}}^{\otimes }\mathfrak{N}({\mathsf{Fin}}_{\ast }).$$

所有 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 中的 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$-代数构成了函子范畴 $\mathsf{Fun}({\mathcal{O}}^{\otimes },{\mathcal{C}}^{\otimes })$ 的子范畴, 记作 $\mathcal{O}\text{-}\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$.

上述定义中, 对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴可换成更一般的算畴上的纤维 $(\infty ,1)$-范畴.

定义 1.2 ($(\infty ,1)$-算畴代数). 设 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathcal{P}}^{\otimes }$ 是 $(\infty ,1)$-算畴的纤维化, 即它是 $(\infty ,1)$-算畴态射, 同时是纤维 $(\infty ,1)$-范畴.

设 ${\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathcal{P}}^{\otimes }$ 是另一 $(\infty ,1)$-算畴态射. 则 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 中的 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$-代数即为 $(\infty ,1)$ 算畴态射 ${\mathcal{O}}^{\otimes }\to {\mathcal{P}}^{\otimes }$, 使得如下图表交换: $${\mathcal{O}}^{\otimes }{\mathcal{C}}^{\otimes }{\mathcal{P}}^{\otimes }.$$

所有 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 中的 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$-代数构成了函子范畴 $\mathsf{Fun}({\mathcal{O}}^{\otimes },{\mathcal{C}}^{\otimes })$ 的子范畴, 记作 $\mathcal{O}\text{-}\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$. 若强调算畴 ${\mathcal{P}}^{\otimes }$, 也可记作 $\mathcal{O}\text{-}{\mathsf{Alg}}_{/\mathcal{P}}(\mathcal{C})$.

在定义 1.2 中取 $\mathcal{P}$ 为交换算畴 $\mathsf{Comm}=\mathfrak{N}({\mathsf{Fin}}_{\ast })$, 就得到了定义 1.1. 若取 $\mathcal{P}$ 为结合算畴 $\mathsf{Assoc}$, 则对应地得到定义 1.1 的非交换幺半 $(\infty ,1)$-范畴版本.

2相关概念

•	算畴
•	算畴代数

术语翻译

$(\infty ,1)$-算畴代数 • 英文 algebra over an $(\infty ,1)$-operad • 法文 algèbre sur une $(\infty ,1)$-opérade (f)