微分分次 Lie 代数

微分分次 Lie 代数 (有时简称 DGLA) 是一种代数结构, 也就是具有 Lie 代数结构的链复形.

在高阶代数中, 微分分次 Lie 代数与 ${\mathbb{L}}_{\infty }$-代数密切联系, 后者是指在同伦意义下具有 Lie 代数结构的链复形. 对特征 $0$ 域而言, 两种概念本质上是等价的.

在高阶几何中, 具有群结构的几何对象的切复形常常具有微分分次 Lie 代数的结构, 正如在普通几何中, Lie 群的切空间具有 Lie 代数的结构. 更一般地, 高阶几何对象 $X$ 在某点 $x$ 的切复形右移一位, 即 ${\mathbb{T}}_{X,x}[-1]$, 常具有微分分次 Lie 代数的结构, 这描述了该点的自同构 $\infty$-群作为高阶几何对象的切复形.

上述构造也将微分分次 Lie 代数与形式模空间联系起来, 后者是指具有唯一的点的高阶几何对象. 在特征 $0$ 域上, 前一段所述的构造, 即取切复形并右移一位, 给出了二者间 $(\infty ,1)$-范畴的等价, 见 [Lurie 2011].

1定义

定义 1.1 (微分分次 Lie 代数). 交换环 $k$ 上的微分分次 Lie 代数是指三元组 $(\mathfrak{g},\partial ,[-,-])$, 其中

•	$\mathfrak{g}={⨁}_{n\in \mathbb{Z}}{\mathfrak{g}}_n$ 是分次向量空间.

•	$\partial :\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 是 $k$-线性映射, 称为微分.

•	$[-,-]:\mathfrak{g}{\otimes }_k\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 是 $k$-双线性映射, 称为 Lie 括号.

它们满足以下条件:

•	$(\mathfrak{g},\partial )$ 是 $k$ 上的链复形. 换言之, 满足以下两个条件: ∘ $\mathrm{deg}\partial =-1$. 换言之, $\partial$ 将每个 ${\mathfrak{g}}_n$ 映入 ${\mathfrak{g}}_{n-1}$. ∘ $\partial \circ \partial =0$.

•

Lie 括号 $[-,-]$ 满足以下条件: ∘ $[-,-]$ 将 ${\mathfrak{g}}_m\otimes {\mathfrak{g}}_n$ 映入 ${\mathfrak{g}}_{m+n}$. ∘ (交错性) 对任意齐次元 $x,y\in \mathfrak{g}$, 有$$[x,y]=-(-1{)}^{|x||y|}[y,x],$$其中 $|x|,|y|$ 表示 $x,y$ 的次数. ∘ (Jacobi 恒等式) 对任意齐次元 $x,y,z\in \mathfrak{g}$, 有$$[x,[y,z]]=[[x,y],z]+(-1{)}^{|x||y|}[y,[x,z]].$$换言之, $[x,-]$ 是关于 Lie 括号的分次导子.

•	$\partial$ 是关于 Lie 括号的分次导子. 换言之, 对任意齐次元 $x,y\in \mathfrak{g}$, 有$$\partial [x,y]=[\partial x,y]+(-1{)}^{|x|}[x,\partial y].$$

等价地, 也可以使用上同调标号, 将微分分次 Lie 代数定义为 $(\mathfrak{g},d,[-,-])$, 其中 $\mathfrak{g}={⨁}_{n\in \mathbb{Z}}{\mathfrak{g}}^n$, 而 $\mathrm{deg}d=1$. 这里略过完整的定义.

2参考文献

微分分次 Lie 代数与形式模空间的联系:

•	Jacob Lurie (2011). “Derived algebraic geometry X: Formal moduli problems”. (pdf)

3相关概念

术语翻译

微分分次 Lie 代数 • 英文 differential graded Lie algebra (DGLA)