A∞-代数

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数是结合代数在高阶代数中的推广, 即幺半 $(\infty ,1)$-范畴中的对象, 带有结合的乘法. 在 $(\infty ,1)$-范畴的语境下, 常简单称之为结合代数.

1定义

定义 1.1 (单形范畴). 回忆单形范畴 $\mathbb{\Delta }$ 的定义:

•	其对象为所有形如 $[n]=\{0,\dots ,n\}$ 的集合, 其中 $n\ge 0$.

•	态射集 $\mathbb{\Delta }([m],[n])$ 由所有从 $[m]$ 到 $[n]$ 的保序映射 (即保持 $\le$ 关系的映射) 构成.

称映射 $f:[m]\to [n]$ 为:

•	活性, 指 $f$ 保持最大值、最小值, 即 $f(0)=0$, $f(m)=n$.

•	惰性, 指 $f$ 为区间含入, 即对 $0\le k<m$, $f(k+1)=f(k)+1$.

也称 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中的对应映射为活性、惰性. 显然, $\mathbb{\Delta }$ 中任一映射 $f$ 都唯一分解如 $f=i\circ a$, 其中 $a$ 为活性, $i$ 为惰性; 所以, ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中任一映射 $\phi$ 都唯一分解如 $\phi =\alpha \circ \iota$, 其中 $\alpha$ 为活性, $\iota$ 为惰性.

注 1.2. 上面的定义取自代数模式. 此概念在编码高阶代数结构时较为常用.

定义 1.3. 设 $\mathcal{C}$ 是幺半范畴, 依定义视为推出纤维化 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$. $\mathcal{C}$ 中结合代数, 或称 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数, 指截面 $A^{\otimes }:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 满足惰性映射的像都是推出边 (或称余笛卡尔边). 称 $[1]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 的像 $A^{\otimes }([1])\in \mathcal{C}$ 为此结合代数的底对象, 简记作 $A$. 无歧义时也以 $A$ 表示此结合代数.

$\mathcal{C}$ 中所有结合代数构成的范畴记作 $\mathsf{Alg}(\mathcal{C})$.

注 1.4. 记号承定义 1.3. 由幺半 $(\infty ,1)$-范畴的定义, ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 在 $[n]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上的纤维为 ${\mathcal{C}}_{[n]}^{\otimes }={\mathcal{C}}^n$, 且 ${\mathcal{C}}^n$ 到 $\mathcal{C}$ 的 $n$ 个投影对应于 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中 $[n]$ 到 $[1]$ 的 $n$ 个惰性映射, 即 $[1]$ 分别作为 $\{0,1\},\dots ,\{n-1,n\}$ 含入 $[n]$. 所以由于 $A^{\otimes }$ 把惰性映射打到推出边, 就有 $A^{\otimes }([n])=(A,\dots ,A)\in {\mathcal{C}}^n$. 现观察 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中 $[n]$ 到 $[1]$ 的活性映射, 即把 $[1]$ 打到 $\{0,n\}\subset [n]$. 由幺半 $(\infty ,1)$-范畴条目中所述, $(A,\dots ,A)\in {\mathcal{C}}^n$ 沿此活性映射的推出为 $n$ 个 $A$ 的张量积 $A\otimes \cdots \otimes A$, 故 $A^{\otimes }$ 给出映射$$A\otimes \cdots \otimes A\to A,$$此即 $A$ 的 ($\mathbf{n}$ 元) 乘法. $n=0$ 时这成为映射 $1_{\mathcal{C}}\to A$, 此即 $A$ 的幺元.

2性质

3相关概念

术语翻译

${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数 • 英文 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-algebra