An-代数

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

高阶代数中, ${\mathbb{A}}_{\mathbf{n}}$-代数是结合代数的推广, 它不要求完整的结合律, 只要求 $n$ 个元素相乘可以同伦连贯地结合. 当底范畴为 $(n-2)$-范畴时, ${\mathbb{A}}_n$-代数就是结合代数.

1定义

我们用代数模式定义, 这样比较简明.

定义 1.1 (${\mathbb{A}}_n$ 模式). 对正整数 $n$, 考虑截断单形范畴 ${\mathbb{\Delta }}_{\le n}^{\mathrm{op}}$, 即不多于 $n+1$ 个元素的全序集依保序映射构成的范畴之反, 也是 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 的满子范畴, 由单形 $[0],[1],\dots ,[n]$ 组成. 把它做成代数模式如下:

•	惰性映射是区间含入之反, 即全序集 $I$ 到全序集 $J$ 的惰性映射为 $J$ 到 $I$ 的保序单射, 满足对 $I$ 中元素 $i^{\prime }\le i\le i^{\prime \prime }$, 只要 $i^{\prime }$ 和 $i^{\prime \prime }$ 在 $J$ 的像中, $i$ 就也在 $J$ 的像中;
•	活性映射是保持端点的映射之反, 即全序集 $I$ 到全序集 $J$ 的活性映射为 $J$ 到 $I$ 的保序映射, 把 $\min J$ 和 $\max J$ 映到 $\min I$ 和 $\max I$;
•	初等对象是二元集 $[1]$;

记此代数模式为 ${\mathbb{A}}_n$, 称为 ${\mathbb{A}}_{\mathbf{n}}$ 模式. 在整个 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上以同样方法定义的代数模式记作 ${\mathbb{A}}_{\infty }$, 称为 ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 模式或结合模式. 这些代数模式之间有一列显然的含入映射$${\mathbb{A}}_1\to {\mathbb{A}}_2\to \cdots \to {\mathbb{A}}_{\infty }={\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}.$$

定义 1.2 (${\mathbb{A}}_n$-代数). 设 $\mathcal{C}$ 是幺半范畴, 视为推出纤维化 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathbb{A}}_{\infty }$. $\mathcal{C}$ 中的 ${\mathbb{A}}_{\mathbf{n}}$-代数指俯于 ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 上的函子 $A^{\otimes }:{\mathbb{A}}_n\to {\mathcal{C}}^{\otimes }$, 把惰性映射打到推出边. 其底对象指 $[1]\in {\mathbb{A}}_n$ 的像, 记作 $A\in \mathcal{C}$. 无歧义时也以 $A$ 表示这个 ${\mathbb{A}}_n$-代数.

$\mathcal{C}$ 中 ${\mathbb{A}}_n$-代数构成的范畴记作 ${\mathsf{Alg}}_{{\mathbb{A}}_n}(\mathcal{C})$.

注 1.3. 显然我们不需要 $\mathcal{C}$ 是幺半范畴来定义其中 ${\mathbb{A}}_n$-代数, 只需要 $\mathcal{C}$ 是 ${\mathbb{A}}_n$-幺半范畴就够了. 不过实际情况下 $\mathcal{C}$ 通常都是幺半范畴.

2性质

以下定理给出 ${\mathbb{A}}_n$-代数和 ${\mathbb{A}}_{n+1}$-代数之间的差距.

定理 2.1. 设 $\mathcal{C}$ 是幺半范畴, $n$ 是正整数, $A$ 是 $\mathcal{C}$ 中 ${\mathbb{A}}_n$-代数. 则我们有自然的以 $S^{n-2}$ 参数化的一族映射 $A^{\otimes (n+1)}\to A$ (即映射 $S^{n-2}\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A^{\otimes (n+1)},A)$), 它沿 $S^{n-2}\to \ast$ 的延拓对应于 $A$ 的 ${\mathbb{A}}_{n+1}$-代数结构. 换言之, 如以 $P_n$ 记有两个对象 $0$、$1$, 映射空间为$$\mathrm{Hom}(0,0)=\mathrm{Hom}(1,1)=\ast ,\mathrm{Hom}(0,1)=S^{n-2},\mathrm{Hom}(1,0)=\varnothing$$的范畴, 以 $P$ 记箭头范畴 $[1]$, 即偏序集 $\{0,1\}$ 对应的范畴, 则我们有范畴的拉回图表$${\mathsf{Alg}}_{{\mathbb{A}}_{n+1}}(\mathcal{C})\mathsf{Fun}(P,\mathcal{C}){\mathsf{Alg}}_{{\mathbb{A}}_n}(\mathcal{C})\mathsf{Fun}(P_n,\mathcal{C})$$其中左边的箭头是遗忘函子, 右边的箭头由显然的函子 $P_n\to P$ 诱导, 横向箭头如上面所述.

注 2.2. 显然定理 2.1 中的 $\mathcal{C}$ 只需要是 ${\mathbb{A}}_{n+1}$-幺半范畴.

注 2.3. 显然 $\mathcal{C}$ 中 ${\mathbb{A}}_1$-代数就是其中的对象, 不带任何代数结构. 由定理 2.1, ${\mathbb{A}}_n$-代数相当于 $\mathcal{C}$ 中的对象 $A$ 附带归纳定义的一系列 $S^{k-3}\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A^{\otimes k},A)$ 沿 $S^{k-3}\to \ast$ 的延拓, $k=2,\dots ,n$.

注 2.4. 当 $\mathcal{C}$ 稳定或谱充实时, 映射 $S^{n-2}\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(A^{\otimes (n+1)},A)$ 的映射沿 $S^{n-2}\to \ast$ 的延拓相当于其在 ${\Omega }^{\infty }({\mathrm{hom}}_{\mathcal{C}}(A^{\otimes (n+1)},A)[2-n])$ 中对应的点的零伦, 其中 $\mathrm{hom}$ 表示映射谱. 当 $\mathcal{C}$ 为链复形充实时, 此种无穷环路空间中的元素可由闭链表示, 零伦则相当于把它写成边缘. 所以此时注 2.3 相当于把归纳定义的一列闭链写成边缘. 这就是一些古老文献中 ${\mathbb{A}}_n$-代数及 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数的定义. 把这作为定义过于手动, 常常不方便操作.

3相关概念

•	Toda 括号
•	Massey 乘积
•	结合形

术语翻译

${\mathbb{A}}_n$-代数 • 英文 ${\mathbb{A}}_n$-algebra