对称幺半 (∞,1)-范畴

对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴是对称幺半范畴在 $(\infty ,1)$-范畴论中的对应物, 即带交换、结合的张量积运算的 $(\infty ,1)$-范畴.

由于 $(\infty ,1)$-范畴里有任意高阶的同伦, 故陈述交换律、结合律时也要考虑任意高阶的同构. 此时如手动写公理表达交换律、结合律, 将极其麻烦, 无法操作, 所以通常把交换律、结合律打包为纤维 $(\infty ,1)$-范畴.

1定义

定义 1.1 (范畴 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$). 考虑带基点有限集范畴 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 即其对象为选定了一个元素 (称为基点) 的有限集, 映射为保持基点的映射.

对自然数 $n$, 以 $⟨n⟩$ 记集合 $\{0,\dots ,n\}$, 基点为 $0$; 以 ${\alpha }_n$ 记映射 $⟨n⟩\to ⟨1⟩$, 把 $0$ 映到 $0$, 其它元素映到 $1$; 对正整数 $i\le n$, 以 ${\iota }_{n,i}$ 记映射 $⟨n⟩\to ⟨1⟩$, 把 $i$ 映到 $1$, 把其它元素映到 $0$.

定义 1.2. 对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴指 $(\infty ,1)$-范畴的推出纤维化 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 满足:

•	对任意自然数 $n$, 沿 ${\iota }_{n,1},\dots ,{\iota }_{n,n}$ 做推出, 在纤维上得到的函子 ${\mathcal{C}}_{⟨n⟩}^{\otimes }\to ({\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }{)}^n$ 是范畴等价.

称 $⟨1⟩\in {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 上的纤维 ${\mathcal{C}}_{⟨1⟩}^{\otimes }$ 为对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 的底范畴, 记作 $\mathcal{C}$. 没有歧义时, 常以 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 甚至 $\mathcal{C}$ 代表对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$.

对 $n\in \mathbb{N}$ 以及 $X_1,\dots ,X_n\in \mathcal{C}$, 可将 $(X_1,\dots ,X_n)\in {\mathcal{C}}^n\cong {\mathcal{C}}_{⟨n⟩}^{\otimes }$ 沿 ${\alpha }_n$ 做推出, 所得对象记作$$X_1\otimes \cdots \otimes X_n\in \mathcal{C},$$称作 $X_1,\dots ,X_n$ 的张量积. 当 $n=0$ 时, 此对象记作$$1_{\mathcal{C}}\in \mathcal{C},$$称作对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 的幺元; 无歧义时也可只写 $1$.

2相关概念

•	${\mathbb{E}}_n$-幺半范畴

术语翻译

对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴 • 英文 symmetric monoidal $(\infty ,1)$-category