幺半 (∞,1)-范畴

幺半 $(\infty ,1)$-范畴是幺半范畴在 $(\infty ,1)$-范畴论中的对应物, 即带结合的张量积运算的 $(\infty ,1)$-范畴.

由于 $(\infty ,1)$-范畴里有任意高阶的同伦, 故陈述结合律时也要考虑任意高阶的同构. 此时如再像幺半范畴条目中一样手动写下一些公理表达结合律, 公理将变得极其麻烦, 无法操作, 所以通常把结合律打包为纤维 $(\infty ,1)$-范畴.

1定义

先回忆单形范畴 $\mathbb{\Delta }$ 的定义. 以下将要用它编码高阶的结合律.

定义 1.1 (范畴 $\mathbb{\Delta }$). 单形范畴是如下定义的范畴 $\mathbb{\Delta }$:

•	其对象为所有形如 $[n]=\{0,\dots ,n\}$ 的集合, 其中 $n\ge 0$.

•	态射集 $\mathbb{\Delta }([m],[n])$ 由所有从 $[m]$ 到 $[n]$ 的保序映射 (即保持 $\le$ 关系的映射) 构成.

定义 1.2. 幺半 $(\infty ,1)$-范畴指 $(\infty ,1)$-范畴的推出纤维化 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$, 满足:

•	对任意自然数 $n$, 沿 $n$ 个含入映射 $\{0,1\},\{1,2\},\dots ,\{n-1,n\}:[1]\to [n]$ 之反做推出, 在纤维上得到的函子 ${\mathcal{C}}_{[n]}^{\otimes }\to ({\mathcal{C}}_{[1]}^{\otimes }{)}^n$ 是范畴等价.

称 $[1]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上的纤维 ${\mathcal{C}}_{[1]}^{\otimes }$ 为幺半 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 的底范畴, 记作 $\mathcal{C}$. 没有歧义时, 常以 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 甚至 $\mathcal{C}$ 代表幺半 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$.

对 $n\in \mathbb{N}$ 以及 $X_1,\dots ,X_n\in \mathcal{C}$, 可将 $(X_1,\dots ,X_n)\in {\mathcal{C}}^n\cong {\mathcal{C}}_{[n]}^{\otimes }$ 沿映射 $\{0,n\}:[1]\to [n]$ 之反做推出, 所得对象记作$$X_1\otimes \cdots \otimes X_n\in \mathcal{C},$$称作 $X_1,\dots ,X_n$ 的张量积. 当 $n=0$ 时, 此对象记作$$1_{\mathcal{C}}\in \mathcal{C},$$称作幺半 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 的幺元; 无歧义时也可只写 $1$.

注 1.3. 记号承定义 1.2. 设 $I_1,\dots ,I_m\subseteq [n]$ 是首尾相接的 $m$ 个非空子集, 并起来是全部; 换言之, $I_1=\{0,1,\dots ,i_1\}$, $I_2=\{i_1,i_1+1,\dots ,i_1+i_2\}$, ……, $I_m=\{i_1+\cdots +i_{m-1},i_1+\cdots +i_{m-1}+1,\dots ,i_1+\cdots +i_{m-1}+i_m=n\}$. 这给出表达式$$X_1\otimes \cdots \otimes X_n$$的一种加括号方式, 即沿第 $i_1,i_1+i_2,\dots ,i_1+\cdots +i_{m-1}$ 个 “$\otimes$” 把上式切成 $m$ 段. 注意含入映射 $\{0,m\}:[1]\to [m]$ 与 $\{0,i_1,\dots ,i_1+\cdots +i_m\}:[m]\to [n]$ 的复合是含入映射 $\{0,n\}:[1]\to [n]$; 故由于推出纤维化中推出函子与复合相容, 可得加括号前后的 $X_1\otimes \cdots \otimes X_n$ 给出典范同构的 $\mathcal{C}$ 中对象. 由此可以直观理解定义 1.2 对高阶结合律的编码.

注 1.4. ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 可视为代数模式 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$, 其中惰性映射为区间含入, 活性映射为保持最小元与最大元的映射, 初等对象只有 $[1]$. 幺半 $(\infty ,1)$-范畴实际上就是 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 上的 Segal 纤维化.

2相关概念

•	${\mathbb{A}}_n$-幺半范畴
•	${\mathbb{E}}_n$-幺半范畴

术语翻译

幺半 $(\infty ,1)$-范畴 • 英文 monoidal $(\infty ,1)$-category