链复形 (∞,1)-范畴

链复形 $(\infty ,1)$-范畴是链复形同伦范畴的高阶版本. 高阶范畴论中, 我们不仅要记忆两个链映射是否同伦, 还要记忆它们如何同伦, 以及同伦之间如何同伦, …… 直至无穷.

为打包这些信息, 一种办法是直接用链同伦条目中所述高阶同伦来定义, 但这需要 Rezk $\Theta$-空间, 有牛刀杀鸡之嫌. 这里我们用 $(\infty ,1)$-范畴局部化来定义.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{A}$ 是加性范畴, $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 是其链复形范畴. $\mathcal{A}$ 的链复形 $(\infty ,1)$-范畴, 或称链复形同伦 $(\infty ,1)$-范畴, 记作 $\mathsf{K}(\mathcal{A})$, 指 $(\infty ,1)$-局部化范畴 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 其中 $\mathsf{W}\subseteq \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 为链同伦等价构成的宽子范畴. 设满子范畴 $\mathcal{C}\subseteq \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 对链复形映射锥封闭. 定义 $\mathcal{C}$ 的同伦 $(\infty ,1)$-范畴为 $\mathcal{C}$ 到 $\mathsf{K}(\mathcal{A})$ 的像. 当 $\mathcal{C}$ 为 (上同调) 上有界、下有界、有界链复形的满子范畴时, 其同伦 $(\infty ,1)$-范畴分别称为 (上同调) 上有界、下有界、有界链复形 $(\infty ,1)$-范畴, 记作 ${\mathsf{K}}^{+}(\mathcal{A})$、${\mathsf{K}}^{-}(\mathcal{A})$、${\mathsf{K}}^{\mathrm{b}}(\mathcal{A})$.

注 1.2. 记号承定义 1.1. 用 dg 脉可以说明, $\mathcal{C}$ 的同伦 $(\infty ,1)$-范畴等价于 $\mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$.

注 1.3. 这里的记号与链复形同伦范畴条目冲突. 这通常不引起混淆, 因为:

•	链复形同伦范畴是链复形 $(\infty ,1)$-范畴的同伦范畴;
•	由于稳定无穷范畴远比三角范畴易于操作, 在高阶范畴论场合很少把稳定无穷范畴忘成其同伦范畴, 链复形 $(\infty ,1)$-范畴也不例外.

2性质

定理 2.1. $\mathsf{K}(\mathcal{A})$、${\mathsf{K}}^{+}(\mathcal{A})$、${\mathsf{K}}^{-}(\mathcal{A})$、${\mathsf{K}}^{\mathrm{b}}(\mathcal{A})$ 都是稳定无穷范畴.

定理 2.2. 对 $C,D\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$, 其在 $\mathsf{K}(\mathcal{A})$ 中的映射生象可计算如下: $${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{K}(\mathcal{A})}(C,D)={\Omega }^{\infty }{\mathrm{RHom}}_{\mathsf{Ch}(\mathcal{A})}(C,D),$$其中 ${\mathrm{RHom}}_{\mathsf{Ch}(\mathcal{A})}(C,D)\in \mathsf{Ch}(\mathsf{Ab})$ 指链复形$${\left(\prod _{m\in \mathbb{Z}}\mathrm{Hom}(C_m,D_{m+n}),({\partial }^D\circ )-(\circ {\partial }^C)\right)}_{n\in \mathbb{Z}},$$${\Omega }^{\infty }$ 指复合函子 $\mathsf{Ch}(\mathsf{Ab})\to \mathsf{D}(\mathbb{Z})\to \mathsf{Sp}\to \mathsf{Ani}$, 也可理解为把链复形截断到同调次数 $\ge 0$, 然后用 Dold–Kan 等价获得单纯交换群, 再忘成单纯集, 取它代表的生象.

定理 2.3. ${\mathsf{K}}^{\mathrm{b}}(\mathcal{A})$ 是加性范畴 $\mathcal{A}$ 的稳定化 (参见条目权结构), 即有典范的范畴等价$${\mathsf{K}}^{\mathrm{b}}(\mathcal{A})={\mathsf{Fun}}^{\mathrm{add}}({\mathcal{A}}^{\mathrm{op}},{\mathsf{Sp}}^{\mathrm{fin}}).$$

3相关概念

•	导出 $(\infty ,1)$-范畴

术语翻译

链复形 $(\infty ,1)$-范畴 • 英文 $(\infty ,1)$-category of chain complexes