开映射定理 (泛函分析)

关于其它含义, 请参见 “开映射定理”.

在泛函分析中, 开映射定理, 也叫 Banach–Schauder 定理, 是说 Banach 空间之间满的连续线性算子都是开映射, 也就是将开集映射为开集.

1叙述与证明

先定义开映射的概念.

定义 1.1. 设 $X,Y$ 是拓扑空间. 若映射 $f:X\to Y$ 满足对任意 $X$ 的开集 $U$, $f(U)$ 都是 $Y$ 的开集, 则称 $f$ 是开映射.

下面的引理说明线性算子是开映射, 只需原点处的单位球映射后包含原点为中心的开球.

引理 1.2. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T:X\to Y$ 是线性算子, 则 $T$ 是开映射当且仅当存在 $\delta >0$ 满足$$TB(0,1)\supset U(0,\delta )$$这里用 $B(x,r),U(y,r)$ 分别指代 $X,Y$ 中的开球.

证明.

证明. 必要性是显然的, 下证充分性. 因为 $T$ 是线性的, 充分性的假设等价于$$TB(x_0,r)\supset U(T{x}_0,r\delta ),\forall x_0\in X,r>0$$任取 $X$ 的开集 $W$ 和 $y_0\in TW$, 则存在 $x_0\in W$ 使得 $y_0=T{x}_0$. 因为 $U$ 是开集, 存在 $B(x_0,r)\subset W$. 此时$$U(T{x}_0,r\delta )\subset TB(x_0,r)\subset TW$$即 $y_0$ 是 $TW$ 的内点. 这表明 $TW$ 是开集.

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我们通过这个引理和 Baire 纲定理证明开映射定理. 其思路是: 先证明一个比引理弱些的条件, 然后用逼近法得到引理条件成立.

定理 1.3 (开映射定理). 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T:X\to Y$ 是连续线性算子. 若 $T$ 是满射, 则 $T$ 是开映射.

证明.

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首先证明: 存在 $\delta >0$, 使得$$\overline{TB(0,1)}\supset U(0,3\delta )$$因为 $T$ 是满射, 故$$Y=TX=\bigcup _{n=1}^{\infty }TB(0,n)$$因为 $Y$ 是完备的, 由 Baire 纲定理, $Y$ 是第二纲集, 从而至少有一个 $TB(0,n)$ 不是无处稠密的, 即 $\overline{TB(0,n)}$ 有内点. 设 $U(y_0,r)\subset \overline{TB(0,n)}$, 注意到 $TB(0,n)$ 是对称的凸集, 故 $U(-y_0,r)\subset \overline{TB(0,n)}$, 从而$$U(0,r)\subset \frac{1}{2}(U(y_0,r)+U(-y_0,r))\subset \overline{TB(0,n)}$$取 $\delta =r/(3n)$. 由线性性, 得 $\overline{TB(0,1)}\supset U(0,3\delta )$.

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再验证引理 1.2 的条件成立, 从而证明 $T$ 是开映射. 这也就是说, 对任意 $y_0\in U(0,\delta )$, 证明存在 $x_0\in B(0,1)$ 使得 $T{x}_0=y_0$. 根据第一步的结果, $U(0,\delta )\subset \overline{TB\left(0,\frac{1}{3}\right)}$, 从而存在 $x_1\in B\left(0,\frac{1}{3}\right)$, 使得$$\Vert y_0-T{x}_1\Vert <\frac{\delta }{3}$$令 $y_1=y_0-T{x}_1$, 则 $y_1\in U\left(0,\frac{\delta }{3}\right)$. 再次根据第一步的结果, 存在 $x_2\in B\left(0,\frac{1}{9}\right)$, 使得$$\Vert y_1-T{x}_2\Vert \le \frac{\delta }{9}$$如此继续, 得到两组序列 $\{x_n\},\{y_n\}$, 其中 $y_n=y_{n-1}-T{x}_n\in U\left(0,\frac{\delta }{3^n}\right)$, 且 $x_{n+1}\in B\left(0,\frac{1}{3^{n+1}}\right)$ 使得$$\Vert y_n-T{x}_{n+1}\Vert <\frac{\delta }{3^{n+1}}$$这样 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\Vert x_n\Vert \le \frac{1}{2}$. 令 $x_0={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$, 则 $x_0\in B(0,1)$, 且$$\Vert y_n\Vert =\Vert y_0-T(x_1+\cdots +x_n)\Vert <\frac{\delta }{3^n}$$令 $S_n={\sum }_{i=1}^n{x}_i$, 则 $S_n\to x_0,T{S}_n\to y_0,n\to \infty$. 因为 $T$ 是连续的, 所以 $T{x}_0=y_0$. 这就证明了引理的条件成立.

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2推论与应用

利用开映射定理, 可以研究算子的逆的问题.

定理 2.1 (Banach 逆算子定理). 设 $X,Y$ 是 Banach 空间. 如果 $T:X\to Y$ 是连续线性算子, 且是双射, 则 $T^{-1}:Y\to X$ 是连续线性算子.

证明. 线性性是显然的. 由开映射定理和引理 1.2, 有$$U(0,1)\subset TB\left(0,\frac{1}{\delta }\right)$$也就是$$T^{-1}U(0,1)\subset B\left(0,\frac{1}{\delta }\right)\Rightarrow \Vert T^{-1}y\Vert <\frac{1}{\delta },\forall \Vert y\Vert <1$$对任意 $c>0,y\in Y$, 有 $\Vert \frac{y}{(1+c)\Vert y\Vert }\Vert <1$, 故对上述元素使用结果得$$\Vert T^{-1}y\Vert <\frac{1+c}{\delta }\Vert y\Vert$$令 $c\to 0$, 并由 $y$ 任意得 $\Vert T^{-1}\Vert \le \frac{1}{\delta }<\infty$.

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用 Banach 逆算子定理可以证明闭图像定理和共鸣定理. 可参见对应条目.

把开映射定理与 Baire 纲定理相结合还可以得到:

定理 2.2. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T:X\to Y$ 是连续线性算子. 则要么 $T$ 是满射, 从而是开映射; 要么 $TX$ 是第一纲集.

如果 $X$ 上的两个范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 都与 $X$ 构成 Banach 空间, 则可以通过考察它们之间的恒等映射, 并借助 Banach 逆算子定理得到

定理 2.3 (等价范数定理). 如果线性空间 $X$ 上的两个范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 都与 $X$ 构成 Banach 空间, 且两个范数中一个比另一个强, 则它们等价.

3相关概念

术语翻译

开映射定理 • 英文 open mapping theorem