泛函分析

泛函分析是分析学的分支, 研究无穷维的向量空间及其间的映射, 主要包括各种线性算子. 这些无穷维向量空间通常来自某个我们关心的有限维空间 $X$ 上的函数空间, 即所有函数 $X\to \mathbb{R}$ 或 $X\to \mathbb{C}$ 构成的空间. 通过研究所有函数构成的空间, 可以得知关于 $X$ 的分析学性质. 例如, 偏微分方程的理论就搭建于泛函分析的基础之上, 也就是通过研究所有函数的空间, 来检验其中是否有一个函数满足相应的微分方程.

泛函分析的名字里, “泛函” 是指函数空间上的函数, 例如线性泛函. 但现代泛函分析并不止于对泛函的研究, 还研究函数空间的各种其它性质.

泛函分析的主要研究对象是各种拓扑向量空间, 包括 Banach 空间、Hilbert 空间等. 如上所述, 这些空间通常来自各种函数空间, 例如 $L^p$ 空间、Sobolev 空间等.

泛函分析的一个重要分支是线性算子的理论, 包括谱理论、Fredholm 算子的理论等.

术语翻译

泛函分析 • 英文 functional analysis • 德文 Funktionalanalysis (f) • 法文 analyse fonctionnelle (f) • 日文 関数解析学 (かんすうかいせきがく)