Lie 型有限群

约定. 在本文中,

$p$ 是素数, $F$ 是 $F_{p}$ 的代数闭包.
对有限群 $G$ , 以 $O_{p^{'}} (G)$ 表示 $G$ 中最大的、阶与 $p$ 互素的正规子群, 以 $O^{p^{'}} (G)$ 表示 $G$ 中最小的、指数与 $p$ 互素的正规子群.

Lie 型有限群, 有时简称 Lie 型群, 指一类来源于约化群 (半单 Lie 群的代数群类比与推广)、行为类似约化群的有限群. 在有限单群分类中, 除素数阶循环群, 交错群以外, 所有的无限族都是 Lie 型群.

1定义
2性质
3分类
Chevalley 群
Steinberg 群
Suzuki 群
Ree 群
4参考文献
5相关概念

1定义

定义 1.1 (约化有限群). 称有限群 $G$ 为约化有限群, 指其形如 $G^{F}$ , 其中 $G$ 是 $F$ 上约化群, $F$ 是其 Steinberg 自同态, $G^{F}$ 表示 $F$ 在 $G (F)$ 中的不动点集. 常将 $G$ 、 $F$ 视为约化有限群 $G$ 的数据的一部分, 并称 $p = char (F)$ 为 $G$ 的特征.

定义 1.2 (Lie 型有限群). 称有限群 $H$ 为 Lie 型有限群, 指其形如 $N / K$ , 其中 $K \subseteq N$ 是约化有限群 $G$ 的子群, 满足 $K \subseteq O_{p^{'}} (G)$ , $N \supseteq O^{p^{'}} (G)$ . 这里 $p$ 是 $G$ 的特征, 我们也把它称为 $H$ 的特征.

注 1.3. Lie 型有限群在不同的文献中有不同的定义, 这里采用一个比较广泛的. 有的文献把这里的约化有限群称为 Lie 型有限群, 有的文献要求定义 1.1 中 $G$ 是半单代数群甚至单代数群, 还有的文献要求定义 1.2 中 $K = O_{p^{'}} (G)$ , $N = O^{p^{'}} (G)$ .

注 1.4. 这里的定义让 Tits 群不是 Lie 型有限群, 但会使理论比较统一. 一个道理是 Tits 群没有 $(B, N)$ 对.

定义 1.5 (Lie 型单群). 设 $G = G^{F}$ 是约化有限群, 其中 $G$ 是单代数群. 则除了 $G$ 很小的有限多种情况之外 (列举这些情况), $O^{p^{'}} (G) / O_{p^{'}} (G)$ 都是单群, 此构造给出的单群称为 Lie 型单群.

例 1.6. 当 $G = SL_{n} (F_{q})$ 为根系 $A_{n - 1}$ 对应的单代数群的 $F_{q}$ -点集时, 相应的 Lie 型单群为 $PSL_{n} (F_{q})$ . 它在下面的记号中也记为 $A_{n - 1} (q)$

2性质

定理 2.1. Lie 型有限群都有 $(B, N)$ 对.

定理 2.2. 设 G 是 Lie 型单群, 其它记号同上. 分别以 $G^{sc}$ 和 $G^{ad}$ 记 $G$ 的万有覆叠及伴随形式, 以 $G^{sc}$ 和 $G^{ad}$ 记相应的 Steinberg 不动点, 则 $O^{p^{'}} (G) / O_{p^{'}} (G) = im (G^{sc} \to G^{ad}) .$

3分类

以下列出 Lie 型单群的分类.

Chevalley 群

Chevalley 群大致是分裂单群的 $F_{q}$ -点之集.

定义 3.1 (Chevalley 群). 当 $G = G_{0} (F_{q})$ 为 $F_{q}$ 上分裂单群 $G_{0}$ 的 $F_{q}$ -点之集, $G = G_{0} \times_{F_{q}} F$ 为其基变换, $F$ 为相应的几何 Frobenius 态射时, 相应的单群称为 Chevalley 群. 根系 $R$ 在 $F_{q}$ 上对应的单群记为 $R (q)$ .

Chevalley 群列表如下:

名称	记号	阶数	重复
$A_{n}$ 根系典型 Chevalley 群	$A_{n} (q), n > 0 (n, q) \neq = (1, 2), (1, 3)$	$\frac{q ^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{( n + 1 , q - 1 )} \prod_{i = 1}^{n} (q^{i + 1} - 1)$	$A_{1} (4) ≅ A_{1} (5) A_{1} (7) ≅ A_{2} (2)$
$B_{n}$ 根系典型 Chevalley 群	$B_{n} (q), n > 1 (n, q) \neq = (2, 2)$	$\frac{q ^{n^{2}}}{( 2 , q - 1 )} \prod_{i = 1}^{n} (q^{2 i} - 1)$	$B_{n} (2^{m}) ≅ C_{n} (2^{m}) B_{2} (3) ≅^{2} A_{3} (2^{2})$
$C_{n}$ 根系典型 Chevalley 群	$C_{n} (q), n > 2$	$\frac{q ^{n^{2}}}{( 2 , q - 1 )} \prod_{i = 1}^{n} (q^{2 i} - 1)$	$C_{n} (2^{m}) ≅ B_{n} (2^{m})$
$D_{n}$ 根系典型 Chevalley 群	$D_{n} (q), n > 3$	$\frac{q ^{n (n - 1)} ( q ^{n} - 1 )}{( 4 , q ^{n} - 1 )} \prod_{i = 1}^{n - 1} (q^{2 i} - 1)$	无
$E_{6}$ 根系例外 Chevalley 群	$E_{6} (q)$	$\frac{q ^{36}}{( 3 , q - 1 )} \prod_{i \in {2, 5, 6, 8, 9, 12}} (q^{i} - 1)$	无
$E_{7}$ 根系例外 Chevalley 群	$E_{7} (q)$	$\frac{q ^{63}}{( 2 , q - 1 )} \prod_{i \in {2, 6, 8, 10, 12, 14, 18}} (q^{i} - 1)$	无
$E_{8}$ 根系例外 Chevalley 群	$E_{8} (q)$	$q^{120} \prod_{i \in {2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30}} (q^{i} - 1)$	无
$F_{4}$ 根系例外 Chevalley 群	$F_{4} (q)$	$q^{24} \prod_{i \in {2, 6, 8, 12}} (q^{i} - 1)$	无
$G_{2}$ 根系例外 Chevalley 群	$G_{2} (q) q \neq = 2$	$q^{6} \prod_{i \in {2, 6}} (q^{i} - 1)$	无

Steinberg 群

Steinberg 群大致是 Chevalley 群在 Dynkin 图自同构与 Galois 作用之复合下的不动点, 也大致是不分裂的单群的 $F_{q}$ -点. 具体来说:

定义 3.2 (Steinberg 群). 当 $(G, F)$ 为以下情况时:

•	$G_{0}$ 为 $A_{n}$ , $D_{n}$ , $E_{6}$ 对应的 $F_{q}$ 上分裂单群, $G$ 为其基变换, $F = Frob \circ σ$ 为几何 Frobenius 态射复合阶为 $2$ 的 Dynkin 图自同构.

•	$G_{0}$ 为 $D_{4}$ 对应的 $F_{q}$ 上分裂单群, $G$ 为其基变换, $F = Frob \circ σ$ 为几何 Frobenius 态射复合阶为 $3$ 的 Dynkin 图自同构.

相应的 $G$ 称为 Steinberg 群, 记为 $^{m} R (q^{m})$ .

Steinberg 群列表如下:

名称	记号	阶数	重复
$A_{n}$ 根系典型 Steinberg 群	$^{2} A_{n} (q^{2}), n > 0 n \neq = 1, (n, q) \neq = (2, 2)$	$\frac{q ^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{( n + 1 , q + 1 )} \prod_{i = 1}^{n} (q^{i + 1} - (- 1)^{i + 1})$	$^{2} A_{3} (2^{2}) ≅ B_{2} (3)$
$D_{n}$ 根系典型 Steinberg 群	$^{2} D_{n} (q^{2}), n > 3$	$\frac{q ^{n (n - 1)}}{( 4 , q ^{n} + 1 )} (q^{n} + 1) \prod_{i = 1}^{n - 1} (q^{2 i} - 1)$	无
$E_{6}$ 根系例外 Steinberg 群	$^{2} E_{6} (q^{2})$	$\frac{q ^{36}}{( 3 , q + 1 )} \prod_{i \in {2, 5, 6, 8, 9, 12}} (q^{i} - (- 1)^{i})$	无
$D_{4}$ 根系例外 Steinberg 群	$^{3} D_{4} (q^{3})$	$q^{12} (q^{8} + q^{4} + 1) (q^{6} - 1) (q^{2} - 1)$	无

Suzuki 群

Ree 群

4参考文献

•	Gunter Malle, Donna Testerman (2011). Linear algebraic groups and finite groups of Lie type. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 133. (doi)

•	François Digne, Jean Michel (2020). Representations of finite groups of Lie type, Seconded. London Mathematical Society Student Texts 95. Cambridge University Press, Cambridge.

•	Marc Cabanes, Michel Enguehard (2004). Representation theory of finite reductive groups. New Mathematical Monographs 1. Cambridge University Press, Cambridge. (doi)

5相关概念

•	有限单群分类
•	Deligne–Lusztig 理论

术语翻译

Lie 型有限群 • 英文 finite group of Lie type

约化有限群 • 英文 finite reductive group

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