Lie 型有限群

约定. 在本文中,

• $p$ 是素数, $\mathbb{F}$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 的代数闭包.
• 对有限群 $G$, 以 $O_{p^{\prime }}(G)$ 表示 $G$ 中最大的、阶与 $p$ 互素的正规子群, 以 $O^{p^{\prime }}(G)$ 表示 $G$ 中最小的、指数与 $p$ 互素的正规子群.

Lie 型有限群, 有时简称 Lie 型群, 指一类来源于约化群 (半单 Lie 群的代数群类比与推广)、行为类似约化群的有限群. 在有限单群分类中, 除素数阶循环群, 交错群以外, 所有的无限族都是 Lie 型群.

1定义

定义 1.1 (约化有限群). 称有限群 $G$ 为约化有限群, 指其形如 ${\mathbf{G}}^F$, 其中 $\mathbf{G}$ 是 $\mathbb{F}$ 上约化群, $F$ 是其 Steinberg 自同态, ${\mathbf{G}}^F$ 表示 $F$ 在 $\mathbf{G}(\mathbb{F})$ 中的不动点集. 常将 $\mathbf{G}$、$F$ 视为约化有限群 $G$ 的数据的一部分, 并称 $p=\mathrm{char}(\mathbb{F})$ 为 $G$ 的特征.

定义 1.2 (Lie 型有限群). 称有限群 $H$ 为 Lie 型有限群, 指其形如 $N/K$, 其中 $K\subseteq N$ 是约化有限群 $G$ 的子群, 满足 $K\subseteq O_{p^{\prime }}(G)$, $N\supseteq O^{p^{\prime }}(G)$. 这里 $p$ 是 $G$ 的特征, 我们也把它称为 $H$ 的特征.

注 1.3. Lie 型有限群在不同的文献中有不同的定义, 这里采用一个比较广泛的. 有的文献把这里的约化有限群称为 Lie 型有限群, 有的文献要求定义 1.1 中 $\mathbf{G}$ 是半单代数群甚至单代数群, 还有的文献要求定义 1.2 中 $K=O_{p^{\prime }}(G)$, $N=O^{p^{\prime }}(G)$.

注 1.4. 这里的定义让 Tits 群不是 Lie 型有限群, 但会使理论比较统一. 一个道理是 Tits 群没有 $(B,N)$ 对.

定义 1.5 (Lie 型单群). 设 $G={\mathbf{G}}^F$ 是约化有限群, 其中 $\mathbf{G}$ 是单代数群. 则除了 $G$ 很小的有限多种情况之外 (列举这些情况), $O^{p^{\prime }}(G)/O_{p^{\prime }}(G)$ 都是单群, 此构造给出的单群称为 Lie 型单群.

例 1.6. 当 $G={\mathrm{SL}}_n({\mathbb{F}}_q)$ 为根系 $A_{n-1}$ 对应的单代数群的 ${\mathbb{F}}_q$-点集时, 相应的 Lie 型单群为 ${\mathrm{PSL}}_n({\mathbb{F}}_q)$. 它在下面的记号中也记为 $A_{n-1}(q)$

2性质

定理 2.1. Lie 型有限群都有 $(B,N)$ 对.

定理 2.2. 设 G 是 Lie 型单群, 其它记号同上. 分别以 ${\mathbf{G}}^{\mathrm{sc}}$ 和 ${\mathbf{G}}^{\mathrm{ad}}$ 记 $\mathbf{G}$ 的万有覆叠及伴随形式, 以 $G^{\mathrm{sc}}$ 和 $G^{\mathrm{ad}}$ 记相应的 Steinberg 不动点, 则$$O^{p^{\prime }}(G)/O_{p^{\prime }}(G)=\mathrm{im}(G^{\mathrm{sc}}\to G^{\mathrm{ad}}).$$

3分类

以下列出 Lie 型单群的分类.

Chevalley 群

Chevalley 群大致是分裂单群的 ${\mathbb{F}}_q$-点之集.

定义 3.1 (Chevalley 群). 当 $G={\mathbf{G}}_0({\mathbb{F}}_q)$ 为 ${\mathbb{F}}_q$ 上分裂单群 ${\mathbf{G}}_0$ 的 ${\mathbb{F}}_q$-点之集, $\mathbf{G}={\mathbf{G}}_0{\times }_{{\mathbb{F}}_q}\mathbb{F}$ 为其基变换, $F$ 为相应的几何 Frobenius 态射时, 相应的单群称为 Chevalley 群. 根系 $R$ 在 ${\mathbb{F}}_q$ 上对应的单群记为 $R(q)$.

Chevalley 群列表如下:

名称	记号	阶数	重复
$A_n$ 根系典型 Chevalley 群	$\begin{array}{c}{A}_n(q),n>0\\ (n,q)\ne (1,2),(1,3)\end{array}$	$\frac{q^{\frac{1}{2}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}{\prod }_{i=1}^n\left(q^{i+1}-1\right)$	$\begin{array}{c}{A}_1(4)\cong A_1(5)\\ A_1(7)\cong A_2(2)\end{array}$
$B_n$ 根系典型 Chevalley 群	$\begin{array}{c}{B}_n(q),n>1\\ (n,q)\ne (2,2)\end{array}$	$\frac{q^{n^2}}{(2,q-1)}{\prod }_{i=1}^n\left(q^{2i}-1\right)$	$\begin{array}{c}{B}_n(2^m)\cong C_n(2^m)\\ B_2(3)\cong {}^2{A}_3(2^2)\end{array}$
$C_n$ 根系典型 Chevalley 群	$\begin{array}{c}{C}_n(q),n>2\end{array}$	$\frac{q^{n^2}}{(2,q-1)}{\prod }_{i=1}^n\left(q^{2i}-1\right)$	$C_n(2^m)\cong B_n(2^m)$
$D_n$ 根系典型 Chevalley 群	$\begin{array}{c}{D}_n(q),n>3\end{array}$	$\frac{q^{n(n-1)}(q^n-1)}{(4,q^n-1)}{\prod }_{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	无
$E_6$ 根系例外 Chevalley 群	$E_6(q)$	$\frac{q^{36}}{(3,q-1)}{\prod }_{\begin{array}{c}i\in \{2,5,\\ 6,8,9,12\}\end{array}}\left(q^i-1\right)$	无
$E_7$ 根系例外 Chevalley 群	$E_7(q)$	$\frac{q^{63}}{(2,q-1)}{\prod }_{\begin{array}{c}i\in \{2,6,8,\\ 10,12,14,18\}\end{array}}\left(q^i-1\right)$	无
$E_8$ 根系例外 Chevalley 群	$E_8(q)$	$q^{120}{\prod }_{\begin{array}{c}i\in \{2,8,12,\\ 14,18,20,24,30\}\end{array}}\left(q^i-1\right)$	无
$F_4$ 根系例外 Chevalley 群	$F_4(q)$	$q^{24}{\prod }_{\begin{array}{c}i\in \{2,6,8,12\}\end{array}}\left(q^i-1\right)$	无
$G_2$ 根系例外 Chevalley 群	$\begin{array}{c}{G}_2(q)\\ q\ne 2\end{array}$	$q^6{\prod }_{\begin{array}{c}i\in \{2,6\}\end{array}}\left(q^i-1\right)$	无

Steinberg 群

Steinberg 群大致是 Chevalley 群在 Dynkin 图自同构与 Galois 作用之复合下的不动点, 也大致是不分裂的单群的 ${\mathbb{F}}_q$-点. 具体来说:

定义 3.2 (Steinberg 群). 当 $(\mathbf{G},F)$ 为以下情况时:

•	${\mathbf{G}}_0$ 为 $A_n$, $D_n$, $E_6$ 对应的 ${\mathbb{F}}_q$ 上分裂单群, $\mathbf{G}$ 为其基变换, $F=\mathrm{Frob}\circ \sigma$ 为几何 Frobenius 态射复合阶为 $2$ 的 Dynkin 图自同构.

•	${\mathbf{G}}_0$ 为 $D_4$ 对应的 ${\mathbb{F}}_q$ 上分裂单群, $\mathbf{G}$ 为其基变换, $F=\mathrm{Frob}\circ \sigma$ 为几何 Frobenius 态射复合阶为 $3$ 的 Dynkin 图自同构.

相应的 $G$ 称为 Steinberg 群, 记为 ${}^{m}R(q^m)$.

Steinberg 群列表如下:

名称	记号	阶数	重复
$A_n$ 根系典型 Steinberg 群	$\begin{array}{c}{}^2{A}_n(q^2),n>0\\ n\ne 1,(n,q)\ne (2,2)\end{array}$	$\frac{q^{\frac{1}{2}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}{\prod }_{i=1}^n\left(q^{i+1}-(-1{)}^{i+1}\right)$	${}^2{A}_3(2^2)\cong B_2(3)$
$D_n$ 根系典型 Steinberg 群	$\begin{array}{c}{}^2{D}_n(q^2),n>3\end{array}$	$\frac{q^{n(n-1)}}{(4,q^n+1)}(q^n+1){\prod }_{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	无
$E_6$ 根系例外 Steinberg 群	${}^2{E}_6(q^2)$	$\frac{q^{36}}{(3,q+1)}{\prod }_{\begin{array}{c}i\in \{2,5,\\ 6,8,9,12\}\end{array}}\left(q^i-(-1{)}^i\right)$	无
$D_4$ 根系例外 Steinberg 群	${}^3{D}_4(q^3)$	$q^{12}(q^8+q^4+1)(q^6-1)(q^2-1)$	无

Suzuki 群

Ree 群

4参考文献

•	Gunter Malle, Donna Testerman (2011). Linear algebraic groups and finite groups of Lie type. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 133. (doi)

•	François Digne, Jean Michel (2020). Representations of finite groups of Lie type, Seconded. London Mathematical Society Student Texts 95. Cambridge University Press, Cambridge.

•	Marc Cabanes, Michel Enguehard (2004). Representation theory of finite reductive groups. New Mathematical Monographs 1. Cambridge University Press, Cambridge. (doi)

5相关概念

•	有限单群分类
•	Deligne–Lusztig 理论

术语翻译

Lie 型有限群 • 英文 finite group of Lie type

约化有限群 • 英文 finite reductive group