根系

根系是 Euclid 向量空间中满足一定对称性的向量集, 它是描述半单 Lie 代数和约化代数群等结构时引入的数学对象.

根系有良好的性质, 可以引入单根、正根、Weyl 群等概念来描述它, 而它也可以由 Dynkin 图来完全分类, 从而分类半单 Lie 代数等结构.

1定义

定义 1.1 (根系). 设 $V$ 是 Euclid 向量空间, 根系是 $V$ 中有限子集 $\Phi$, 满足条件

•	$\Phi$ 张成 $V$.

•	对任意 $\alpha \in \Phi$, $\Phi$ 在沿与 $\alpha$ 垂直的超平面反射下不变. 换言之, 对任意 $\alpha ,\beta \in \Phi$, $${\sigma }_{\alpha }(\beta )=\beta -\frac{2⟨\alpha ,\beta ⟩}{⟨\alpha ,\alpha ⟩}\alpha \in \Phi .$$

•	(既约条件) 对任意 $\alpha ,\beta \in \Phi$, 如 $\alpha =t\beta$ 则 $t=\pm 1$.

•	(结晶条件) 对任意 $\alpha ,\beta \in \Phi$, $\beta$ 在 $\alpha$ 方向投影为 $\alpha$ 的半整数倍: $$\frac{⟨\alpha ,\beta ⟩}{⟨\alpha ,\alpha ⟩}\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}.$$

此时, $\Phi$ 中的元素称为根, $\Phi$ 在 $V$ 中张成的 $\mathbb{Z}$-模称为根格 (结晶条件保证了它是晶格).

注 1.2. 这些条件来自于代数闭域上半单 Lie 代数或约化代数群的理论. 在一些理论中也会放宽一部分条件, 不过定义出的对象也会称为根系. 例如不分裂的约化代数群的理论中会出现不既约的根系; 反射群的理论中会出现不结晶的根系.

注 1.3. 在约化代数群或仿射根系的理论中, 通常用另一种方法描述根系: 不使用 $V$ 的内积结构, 而是将每个根 $\alpha$ 对应于对偶根 ${\alpha }^{\vee }\in V^{\ast }$, 并满足相应的性质. 两种方式是等价的, 因为 ${\alpha }^{\vee }$ 就相当于定义 1.1 中的函数 $\beta \mapsto 2\frac{⟨\alpha ,\beta ⟩}{⟨\alpha ,\alpha ⟩}$.

2例子

首先列举一些二维空间中的根系...

以下例子是根系的重要来源.

例 2.1 (半单 Lie 代数的根系). 设 $\mathfrak{g}$ 是半单 Lie 代数, $\mathfrak{h}$ 是它的极大环子代数, 则 $\mathfrak{h}$ 在 $\mathfrak{g}$ 上伴随作用的特征值构成根系. 其中 $\mathfrak{g}$ 的 Killing 型诱导了内积结构.

此外, 根系还会在约化代数群、有限型箭图代数等理论中出现.

3性质

单根、正根等

4分类

5相关概念

仿射根系

术语翻译

根系 • 英文 root system • 德文 Wurzelsystem (n) • 法文 système de racines (m) • 拉丁文 systema radicum (n) • 古希腊文 σύστημα ῥιζῶν (n)