Lie 定理

在 Lie 理论中, Lie 定理说的是, 对于零特征代数闭域上的有限维可解 Lie 代数的有限维线性表示, 总可找一组基, 使表示的矩阵均成为上三角矩阵.

1叙述

定理 1.1 (Lie). 设 $\mathfrak{g}$ 是零特征代数闭域 $K$ 上的有限维可解 Lie 代数, $\rho :\mathfrak{g}\to \mathrm{End}(V)$ 是它的一个 $n$ 维表示, 那么存在 $V$ 的一组基, 使得对于任意 $X\in \mathfrak{g}$, $\rho (X)$ 在这组基下的矩阵均是上三角的. 具体地说, 存在 $n$ 个线性函数 ${\lambda }_i\in {\mathfrak{g}}^{\ast }$ 和 $V$ 的一组基 $v_1,\dots ,v_n\in V$, 使得$$\rho (X)v_i={\lambda }_i(X)v_i(\mathrm{mod}⟨v_1,\dots ,v_{i-1}⟩),1\le i\le n.$$

换句话说, 存在 $V$ 的一个完备旗 $V=V_n\supset V_{n-1}\supset \cdots \supset V_1$, 使得 $1\le i\le n$, $\dim V_i=i$ 而每个 $V_i$ 均是 $V$ 的子表示.

注 1.2. 如果 $\mathfrak{g}$ 选为 $\mathbb{C}$ 上交换的矩阵 Lie 代数, 则这个定理蕴含了线性代数中的一个基本结果, 即 $\mathbb{C}$ 上两两交换的方阵可以同时上三角化.

推论 1.3. 零特征代数闭域上有限维可解 Lie 代数的有限维不可约线性表示一定是一维的.

Lie 代数的幂零性和可解性在域扩张下并不改变. 将 Lie 定理用于伴随表示, 就得到

推论 1.4. 零特征域上有限维 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 可解等价于它的导出 Lie 代数 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ 幂零.

2证明

引理 2.1. 条件同前, 则存在 $\mathfrak{g}$ 中所有元的公共特征向量 $w\in V$, 也就是说存在线性函数 $\lambda \in {\mathfrak{g}}^{\ast }$ 使对所有 $X\in \mathfrak{g}$ 都有$$\rho (X)w=\lambda (X)w.$$

引理的证明. 对 $\mathfrak{g}$ 的维数归纳, 一维的情形是显然的. 因为 $\mathfrak{g}$ 可解, 所以 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]⊊\mathfrak{g}$. $\mathfrak{g}$ 的任何含有 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ 的子空间都是理想. 于是可以取余维数为 $1$ 的理想 $\mathfrak{h}⊊\mathfrak{g}$. 由归纳假设, 存在 $\lambda \in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ 和 $w\in V$, $w_0\ne 0$, 使对于任何 $Y\in \mathfrak{h}$, $\rho (Y)w=\lambda (Y)w$. 任取 $X_0\in \mathfrak{g}\setminus \mathfrak{h}$, 于是 $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus K{X}_0$.

目标: 用 $w_0$ 构造一个 $X_0$ 作用不变的 $\mathfrak{h}$ 公共特征子空间, 从而在其中找到 $X_0$ 和 $\mathfrak{h}$ 的公共特征向量.

为此, 对 $i\in \mathbb{N}$ 归纳定义 $w_{i+1}=\rho (X_0)w_i$ 并令 $W_i=⟨w_0,\dots ,w_i⟩$. 当 $i$ 充分大时, $w_0,\dots ,w_i$ 将线性相关. 取使 $w_0,\dots ,w_i$ 线性无关的最大的 $i$, 记为 $p$. 于是 $W_p$ 是一个 $X_0$-不变的子空间.

记 $W_{-1}=\{0\}$. 我们断言对任何 $Y\in \mathfrak{h}$ 有等式$$\rho (Y)w_i=\lambda (Y)w_i(\mathrm{mod}{W}_{i-1}),i=0,1,2,\dots ,p.$$(1)当 $i=0$ 时, 这由 $w$ 的选取保证. 当 $i>0$ 时,$$\rho (Y)w_i=\rho (Y)\rho (X_0)w_{i-1}=\rho (X_0)\rho (Y)w_{i-1}+\rho ([Y,X_0])w_{i-1},$$(2)注意 $[Y,X_0]\in \mathfrak{h}$, 故可用数学归纳法证明 (1) 对 $i=1,2,\dots ,p$ 成立. 这样, $W_p$ 也是 $\mathfrak{h}$ 不变的子空间, 下面再证明它其实是其公共特征子空间.

因为 $W_p$ 是 $\mathfrak{g}$ 不变的子空间, 对于 $X,Y\in \mathfrak{g}$, 应有 $\mathrm{Tr}([X,Y]{|}_{W_p})=0$, 另一方面 $[X,Y]\in \mathfrak{h}$, 于是 $\mathrm{Tr}([X,Y]{|}_{W_p})=\dim W_p\cdot \lambda ([X,Y])=(p+1)\lambda ([X,Y])$. 因为 $K$ 是特征 $0$ 的, 所以 $\lambda ([X,Y])=0$. 现在回过来看 (2), 再次使用数学归纳法, 我们发现 (1) 中的 $\mathrm{mod}$ 可以去掉, 从而 $W_p$ 是 $\mathfrak{h}$ 的公共特征子空间.

因为 $K$ 是代数闭域, $X_0$ 在 $W_p$ 中有非零的特征向量 $w$, 对应的特征值为 ${\lambda }_w$. 我们将 $\lambda$ 延拓到 $\mathfrak{g}$ 使 $\lambda (X_0)={\lambda }_w$ 并取这个 $w$ 为所要的 $w$, 就证明了引理.

$\square$

Lie 定理的证明. 对 $n$ 归纳, $n=1$ 时定理显然. $n>1$ 时, 取引理中的 $w$, 令 $V_1=⟨w⟩$, 则 $V/V_1$ 是 $\mathfrak{g}$ 的一个 $(n-1)$ 维表示, 由归纳假设可找到一个完备旗 $\overline{V_2}\subset \cdots \subset \overline{V_n}=V/V_1,\dim \overline{V_i}=i-1$, 每个 $\overline{V_i}$ 均是 $\mathfrak{g}$ 不变的. 取 $V$ 中对应的旗 $V_2\subset \cdots \subset V_n,\dim V_i=i$, 则 $V_1\subset V_2$, 且因为对于任取的 $X\in \mathfrak{g}$ 和向量 $v\in V_i(1<i\le n)$, 都有 $\rho (X)v-v\in V_1\subset V_i$, 从而 $V_i$ 也均是 $\mathfrak{g}$ 不变的. 这就证明了定理.

$\square$

3正特征的反例

细究上面的证明, 我们发现当 $W_p$ 的维数等于特征时证明会失效. 也就是说, 在正特征的情形, 如果 $V$ 的维数小于特征, 证明仍然适用. 下面我们举一个 $V$ 的维数等于特征的反例.

例 3.1. 对于特征为 $p>0$ 的域 $K$ 和 $p$ 维向量空间 $K[x]/(x^p)$, 考虑由 $1,x,\frac{d}{dx}$ 三种左作用生成的 Lie 代数. 通过计算可以验证它是幂零 Lie 代数, 但是没有特征向量.

注: 如果 $p=2$, 这个 Lie 代数其实就是 $\mathfrak{sl}(2,K)$.