Hilton–Milnor 分裂

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴, 意象都指 $(\infty ,1)$-意象.

Hilton–Milnor 分裂是个同伦论结论, 在同伦论意义下分解一点并的环路空间. 其经典情形说的是: 对带基点空间 $X,Y$, 我们有典范的弱同伦等价$$\Omega (X\vee Y)\simeq \Omega X\times \Omega Y\times \Omega \Sigma (\Omega X\wedge \Omega Y).$$

1陈述与证明

本节中, 设 $\mathcal{C}$ 是带基点范畴, 零对象记作 $\ast$. 再设 $\mathcal{C}$ 有有限极限、有限余极限. 由于它已经有零对象, 这等价于说它有任意推出、拉回. 先回忆一些记号:

定义 1.1. 对 $X,Y\in \mathcal{C}$:

•	$\Sigma X$ 表示推出 $\ast {\bigsqcup }_X\ast$;
•	$\Omega X$ 表示拉回 $\ast {\times }_X\ast$;
•	$X\vee Y$ 表示 $X$ 和 $Y$ 的余积, 基点给出映射 $X\to X\times Y$ 和 $Y\to X\times Y$, 从而给出映射 $X\vee Y\to X\times Y$;
•	$X\wedge Y$ 表示推出 $(X\times Y){\bigsqcup }_{X\vee Y}\ast$, 其中 $X\vee Y\to X\times Y$ 的映射如上;
•	$0:X\to Y$ 表示零映射, 即复合映射 $X\to \ast \to Y$.

以下命题在主定理的证明中用到. 鉴于它简明而有用, 在此单列.

命题 1.2. 对 $X,Y\in \mathcal{C}$, 图表$$X\times YYX\Sigma (X\wedge Y){\mathrm{pr}}_2{\mathrm{pr}}_{1}00$$是推出.

证明.

证明. 首先注意$$X\vee YYX\ast =\left(X\ast X\ast \right)\vee \left(YY\ast \ast \right)$$是推出图表. 设 $X{\bigsqcup }_{X\times Y}Y=Z$. 把推出图表的映射$$\left(X\vee YYX\ast \right)\to \left(X\times YYXZ\right)$$取余纤维, 得推出图表$$X\wedge Y\ast \ast Z$$故知 $Z=\Sigma (X\wedge Y)$; 由上述余纤维自带的映射$$\left(X\times YYXZ\right)\to \left(X\wedge Y\ast \ast Z\right)$$知 $X\to Z$、$Y\to Z$ 零伦.

$\square$

定理 1.3 (Hilton–Milnor 分裂). 设 $\mathcal{C}$ 中推出都万有. 则我们有对 $X,Y\in \mathcal{C}$ 自然的纤维列$$\Sigma (\Omega X\wedge \Omega Y)\to X\vee Y\to X\times Y$$且在取 $\Omega$ 之后典范地分裂, 给出自然同构$$\Omega (X\vee Y)=\Omega X\times \Omega Y\times \Omega \Sigma (\Omega X\wedge \Omega Y).$$

证明. 先证纤维列. 令 $Z=\mathrm{fib}(X\vee Y\to X\times Y)$. 由命题 1.2, 只需证下图是推出. $$\Omega X\times \Omega Y\Omega Y\Omega XZ00$$考虑立方图表$$\Omega Y\Omega X\times \Omega YXZ\ast \ast \Omega XX\vee YX\times YY00$$要证其顶面是推出. 由于其底面显然是推出, 而推出都万有, 只需证其侧面都是拉回. 注意其各个侧面在复合到右边 $\ast \to X\times Y$ 之后都是拉回, 由三拉回引理即得结论.

再证取 $\Omega$ 所得纤维列$$\Omega \Sigma (\Omega X\wedge \Omega Y)\stackrel{i}{\to }\Omega (X\vee Y)\stackrel{p}{\to }\Omega (X\times Y)$$典范分裂. 首先注意 $\Omega$ 给出群对象, 故上列实际上是 $\mathcal{C}$ 中群对象的纤维列; 其次注意映射 $\Omega (X\vee Y)\to \Omega (X\times Y)$ 有截面$$s:\Omega (X\times Y)=\Omega X\times \Omega Y\to \Omega (X\vee Y)\times \Omega (X\vee Y)\to \Omega (X\vee Y)$$其中最后一个映射是群乘法; 这样群结构便给出纤维列的分裂, 具体写出来就是$$\Omega (X\times Y)\times \Omega \Sigma (\Omega X\wedge \Omega Y)\stackrel{\sim }{\to }\Omega (X\vee Y),$$$$(\alpha ,\beta )\mapsto s(\alpha )i(\beta ).$$$\square$

注 1.4. 由于证明最后一步的截面 $s:\Omega (X\times Y)\to \Omega (X\vee Y)$ 不是群同态, 定理 1.3 的分裂不是作为群的分裂. 事实上最简单的例子 $X=Y=S^1$ 也能说明问题. 以 $\xi$、$\eta$ 记 ${\pi }_1(X)$、${\pi }_1(Y)$ 的生成元, 则 $\Omega X={\xi }^{\mathbb{Z}}$, $\Omega Y={\eta }^{\mathbb{Z}}$, $\Omega X\wedge \Omega Y=\{({\xi }^n,{\eta }^m{)}_{n,m\in \mathbb{Z}\setminus 0}{\}}_{+}$. 此时定理 1.3 中纤维列取 $\Omega$ 之后得到群短正合列$$1\to ⟨({\xi }^n,{\eta }^m{)}_{n,m\in \mathbb{Z}\setminus 0}⟩\stackrel{i}{\to }⟨\xi ,\eta ⟩\stackrel{p}{\to }{\xi }^{\mathbb{Z}}\times {\eta }^{\mathbb{Z}}\to 1$$其中 $p$ 是交换化, $$i({\xi }^n,{\eta }^m)={\xi }^n{\eta }^m{\xi }^{-n}{\eta }^{-m}.$$从而定理 1.3 给出的分裂是$${\xi }^{\mathbb{Z}}\times {\eta }^{\mathbb{Z}}\times ⟨({\xi }^n,{\eta }^m{)}_{n,m\in \mathbb{Z}\setminus 0}⟩\to ⟨\xi ,\eta ⟩,$$$$({\xi }^a,{\eta }^b,g)\mapsto {\xi }^a{\eta }^{b}i(g),$$显然不是群同态.

2推论

文献中的 “Hilton–Milnor 分裂” 常指以下推论.

推论 2.1. 设 $\mathcal{X}$ 是意象, $X,Y$ 是其中连通带基点对象. 则$$\Omega (\Sigma X\vee \Sigma Y)=\Omega \Sigma X\times \Omega \Sigma Y\times \Omega \Sigma \left(\underset{i,j\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\bigvee }{X}^{\wedge i}\wedge Y^{\wedge j}\right).$$

证明. 只需证$$\Sigma (\Omega \Sigma X\wedge \Omega \Sigma Y)=\Sigma \left(\underset{i,j\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\bigvee }{X}^{\wedge i}\wedge Y^{\wedge j}\right).$$用 James 分裂以及 $\Sigma (X\wedge Y)=S^1\wedge X\wedge Y=\Sigma X\wedge Y=X\wedge \Sigma Y$ 计算$$\begin{array}{rl}\Sigma (\Omega \Sigma X\wedge \Omega \Sigma Y)& =\Sigma \Omega \Sigma X\wedge \Omega \Sigma Y=\Sigma \left(\underset{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\bigvee }{X}^{\wedge i}\right)\wedge \Omega \Sigma Y\\ & =\left(\underset{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\bigvee }{X}^{\wedge i}\right)\wedge \Sigma \Omega \Sigma Y=\left(\underset{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\bigvee }{X}^{\wedge i}\right)\wedge \Sigma \left(\underset{j\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\bigvee }{Y}^{\wedge j}\right)\\ & =\Sigma \left(\left(\underset{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\bigvee }{X}^{\wedge i}\right)\wedge \left(\underset{j\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\bigvee }{Y}^{\wedge j}\right)\right)=\Sigma \left(\underset{i,j\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\bigvee }{X}^{\wedge i}\wedge Y^{\wedge j}\right)\end{array}$$即得结论.

$\square$

3推广

($n$ 个对象的情形.)

4相关概念

•

James 分裂

术语翻译

Hilton–Milnor 分裂 • 英文 Hilton–Milnor splitting