James 分裂

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴, 意象都指 $(\infty ,1)$-意象.

James 分裂是同伦论中的经典结论, 起初由 Ioan James 证明, 后来由 Sanath Devalapurkar 和 Peter Haine 推广到更一般的范畴上. 其经典情形 (定理 1.4, 取 $\mathcal{X}$ 为生象的范畴) 说的是: 对连通的带基点空间 $X$, 有典范的弱同伦等价$$\Sigma \Omega \Sigma X\simeq \underset{i=1}{\overset{\infty }{\bigvee }}\Sigma X^{\wedge i}.$$

1陈述

本节中, 设 $\mathcal{C}$ 是带基点范畴, 零对象记作 $\ast$. 再设 $\mathcal{C}$ 有有限极限、有限余极限. 由于它已经有零对象, 这等价于说它有任意推出、拉回. 先回忆一些记号:

定义 1.1. 对 $X,Y\in \mathcal{C}$:

•	$\Sigma X$ 表示推出 $\ast {\bigsqcup }_X\ast$;
•	$\Omega X$ 表示拉回 $\ast {\times }_X\ast$;
•	$X\vee Y$ 表示 $X$ 和 $Y$ 的余积, 基点给出映射 $X\to X\times Y$ 和 $Y\to X\times Y$, 从而给出映射 $X\vee Y\to X\times Y$;
•	$X\wedge Y$ 表示推出 $(X\times Y){\bigsqcup }_{X\vee Y}\ast$, 其中 $X\vee Y\to X\times Y$ 的映射如上;
•	$0:X\to Y$ 表示零映射, 即复合映射 $X\to \ast \to Y$.

以下命题在 James 分裂的证明中用到. 鉴于它简明而有用, 在此单列.

命题 1.2. 对 $X,Y\in \mathcal{C}$, 图表$$X\times YY\ast X\Sigma (X\wedge Y)\Sigma (X\wedge Y)\vee \Sigma Y\ast \Sigma (X\wedge Y)\vee \Sigma X\Sigma (X\wedge Y)\vee \Sigma X\vee \Sigma Y{\mathrm{pr}}_2{\mathrm{pr}}_{1}00$$的每个方块都是推出. 特别地, $$\mathrm{cofib}({\mathrm{pr}}_1)=\Sigma (X\wedge Y)\vee \Sigma Y,$$$$\mathrm{cofib}({\mathrm{pr}}_2)=\Sigma (X\wedge Y)\vee \Sigma X,$$$$\Sigma (X\times Y)=\Sigma (X\wedge Y)\vee \Sigma X\vee \Sigma Y.$$

证明.

证明. 只有左上方块不显然. 为此首先注意$$X\vee YYX\ast =\left(X\ast X\ast \right)\vee \left(YY\ast \ast \right)$$是推出图表. 设 $X{\bigsqcup }_{X\times Y}Y=Z$. 把推出图表的映射$$\left(X\vee YYX\ast \right)\to \left(X\times YYXZ\right)$$取余纤维, 得推出图表$$X\wedge Y\ast \ast Z$$故知 $Z=\Sigma (X\wedge Y)$; 由上述余纤维自带的映射$$\left(X\times YYXZ\right)\to \left(X\wedge Y\ast \ast Z\right)$$知 $X\to Z$、$Y\to Z$ 零伦.

$\square$

定理 1.3 (James 分裂, 有限形式). 设 $\mathcal{C}$ 中推出都万有. 则我们有对 $X\in \mathcal{C}$ 自然的同构$$\Sigma \Omega \Sigma X=\Sigma (X\wedge \Omega \Sigma X)\vee \Sigma X.$$由于 $\Sigma (X\wedge \Omega \Sigma X)=X\wedge \Sigma \Omega \Sigma X$ (引理 2.1), 可将上式迭代, 知对任意自然数 $n$ 都有自然同构$$\Sigma \Omega \Sigma X=\Sigma (X^{\wedge n}\wedge \Omega \Sigma X)\vee \underset{i=1}{\overset{n}{\bigvee }}\Sigma X^{\wedge i}.$$

设 $\mathcal{X}$ 是意象, 则它有任意极限、余极限, 且余极限都万有. 特别地, 带基点范畴 ${\mathcal{X}}_{\ast }$ 有有限极限、有限余极限, 推出图表都万有. 回忆 $\mathcal{X}$ 中带基点对象 $X$ 连通指的是基点 $\ast \to X$ 是满射.

定理 1.4 (James 分裂, 无限形式). 设 $X$ 是 $\mathcal{X}$ 中带基点对象. 则定理 1.3 给出一列相容的映射$$\underset{i=1}{\overset{n}{\bigvee }}\Sigma X^{\wedge i}\to \Sigma \Omega \Sigma X;$$对 $n\in \mathbb{N}$ 取余极限, 得映射$$c_X:\underset{i=1}{\overset{\infty }{\bigvee }}\Sigma X^{\wedge i}\to \Sigma \Omega \Sigma X;$$当 $X$ 连通时, 此映射是同构.

2证明

设 $\mathcal{C}$ 是带基点范畴, 有有限极限、有限余极限, 推出图表都万有.

引理 2.1. 我们有对 $X,Y\in \mathcal{C}$ 自然的同构$$\Sigma (X\wedge Y)=X\wedge \Sigma Y.$$

证明. 注意对推出图表$$Y\ast \ast \Sigma Y$$做 $X\vee -$, 所得仍是推出图表, 因为余极限与余极限交换; 对它做 $X\times -$, 所得也是推出图表, 因为推出图表万有. 故自然变换 $X\vee -\to X\times -$ 给出推出图表映射$$\left(X\vee YXXX\vee \Sigma Y\right)\to \left(X\times YXXX\times \Sigma Y\right)$$取余纤维即得结论.

$\square$

引理 2.2. 存在对 $X\in \mathcal{C}$ 自然的映射 $a_X:X\times \Omega \Sigma X\to \Omega \Sigma X$ 使得图表$$X\times \Omega \Sigma X\Omega \Sigma X\Omega \Sigma X\ast {\mathrm{pr}}_2{a}_X$$是推出.

证明. 把推出图表$$X\ast \ast \Sigma X$$沿 $\ast \to \Sigma X$ 拉回, 得立方图表$$P\Omega \Sigma X\Omega \Sigma X\ast X\ast \ast \Sigma X$$其中两个水平方块是推出 (由于推出都万有), 四个竖直方块是拉回. 现在把 $P$ 按后方块等同于 $X\times \Omega \Sigma X$, 并令左上箭头为 $a_X$, 这样上方块就是想要的推出图表.

$\square$

注 2.3. $a_X$ 实际上是自然映射 $X\to \Omega \Sigma X$ 复合 $\Omega \Sigma X$ 的乘法映射.

定理 1.3 的证明. 对引理 2.2 取横向余纤维, 知 $\Sigma \Omega \Sigma X=\mathrm{cofib}({\mathrm{pr}}_2:X\times \Omega \Sigma X\to \Omega \Sigma X)$. 由命题 1.2, 此余纤维等于 $\Sigma (X\wedge \Omega \Sigma X)\vee \Sigma X$. 此即欲证.

$\square$

引理 2.4. 设 $f:\mathcal{Y}\to \mathcal{X}$ 是意象的几何态射, $\mathcal{X}$ 中带基点对象 $X$ 满足定理 1.4 (即其陈述中的映射 $c_X$ 是同构), 则 $f^{\ast }X$ 也满足定理 1.4.

证明. 这是因为由几何态射的定义 $f^{\ast }$ 保持任意余极限和有限极限.

$\square$

定理 1.4 的证明. 回忆对任一意象 $\mathcal{X}$, 均存在小范畴 $\mathcal{C}$ 以及几何态射 $f:\mathcal{X}\to \mathsf{P}(\mathcal{C})$, 使得 $f^{\ast }{f}_{\ast }=\mathrm{id}$ (比如可对充分大的正则基数 $\kappa$ 取 $\mathcal{C}={\mathcal{X}}^{\kappa }$, 取 $f_{\ast }$ 为 Yoneda 嵌入的限制). 对 $\mathcal{X}$ 中连通带基点对象 $\ast \to X$, 考虑其前推 $\ast \to f_{\ast }X$, 并令 $Y=\mathrm{im}(\ast \to f_{\ast }X)$, 则依定义 $Y\in \mathsf{P}(\mathcal{C}{)}_{\ast }$ 为连通带基点对象, 且不难发现 $f^{\ast }Y=X$. 由引理 2.4, 只需对 $Y$ 证明 1.4, 这样就化归到了 $\mathcal{X}=\mathsf{P}(\mathcal{C})$ 的情形. 由于预层范畴的极限、余极限都是逐对象计算的, 定理 1.4 便化归到 $\mathcal{X}=\mathsf{Ani}$ 为生象范畴的情形.

此时只需证映射 $c_X$ 诱导各阶同伦群的同构. 由于 $X$ 连通, $\Sigma X^{\wedge }n$ 为 $n$-连通, 故$$\underset{i=1}{\overset{n}{\bigvee }}\Sigma X^{\wedge i}\to \underset{i=1}{\overset{\infty }{\bigvee }}\Sigma X^{\wedge i}$$诱导 $\le n$ 阶同伦群的同构; 另一方面 $\Sigma ({\mathcal{X}}^{\wedge n}\wedge \Omega \Sigma X)$ 也是 $n$-连通, 故由定理 1.3, $$\underset{i=1}{\overset{n}{\bigvee }}\Sigma X^{\wedge i}\to \Sigma \Omega \Sigma X$$也诱导 $\le n$ 阶同伦群的同构; 合起来即得欲证.

$\square$

3应用

4相关概念

•	James 滤链
•	Hilton–Milnor 分裂

术语翻译

James 分裂 • 英文 James splitting