Lang 定理

约定. 在本文中,

• $p$ 是素数, $\mathbb{F}$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 的代数闭包.

Lang 定理是有限域上代数群理论的基本结论, 由 Serge Lang 证明, 可视为 Artin–Schreier 理论的一种非交换推广. 它大致说的是, 光滑连通的代数群在有限域上没有非平凡的主丛 (推论 2.5).

1定理

这里展示一个加强版, 由 Steinberg 证明.

定义 1.1 (几何 Frobenius 自同态). 设 $X$ 是 $\mathbb{F}$ 上有限型概形. 则 $X$ 必然定义在某个 ${\mathbb{F}}_q$ 上. $X$ 的一个几何 Frobenius 自同态指其某个下降 $X_0/{\mathbb{F}}_q$ 的 $q$ 次方 Frobenius 自同态, 基变换回 $X/\mathbb{F}$.

定义 1.2 (Steinberg 自同态). 设 $G$ 是 $\mathbb{F}$ 上代数群, $F$ 是 $G$ 的自同态. 如 $F$ 的某个幂次是某个几何 Frobenius 自同态, 则称 $F$ 为 Steinberg 自同态.

引理 1.3. 设 $G$ 是 $\mathbb{F}$ 上代数群, $F$ 是 $G$ 的 Steinberg 自同态, $a\in G(\mathbb{F})$. 以 ${\iota }_a$ 记 $a$ 给出的内自同构 $g\mapsto ag{a}^{-1}$, 则 ${\iota }_a\circ F$ 也是 Steinberg 自同态.

证明. 取足够大的 $q$ 使得 $G$ 和 $F$ 都定义在 ${\mathbb{F}}_q$ 上, 且 $a\in G({\mathbb{F}}_q)$. 则由 $G({\mathbb{F}}_q)$ 是有限群, 且几何 Frobenius 在点上都是单射, 知 $F$ 在 $G({\mathbb{F}}_q)$ 上是自同构. 于是可取足够大的 $m$ 使得 $F^m$ 是几何 Frobenius, 在 $G({\mathbb{F}}_q)$ 上是 $\mathrm{id}$, 且$$aF(a)\cdots F^{m-1}(a)=1.$$容易发现此时 $({\iota }_a\circ F{)}^m=F^m$ 是几何 Frobenius.

$\square$

定理 1.4. 设 $G$ 是 $\mathbb{F}$ 上光滑连通代数群, $F$ 是 $G$ 的 Steinberg 自同态. 考虑其 Lang 映射 ${\mathrm{Lang}}_F:G\to G$, 定义为 ${\mathrm{Lang}}_F(g)=F(g)g^{-1}$. 则 ${\mathrm{Lang}}_F$ 是满射.

证明. 首先注意 $F$ 在单位元处切映射 $T_{1}F$ 幂零, 因为几何 Frobenius 的切映射是 $0$. 考虑 ${\mathrm{Lang}}_F$ 的分解$$G\to G\times G\to G$$$$g\mapsto (F(g),g^{-1})\mapsto F(g)g^{-1}$$由于乘积映射的切映射是求和, 取逆的切映射是 $-1$, 容易发现 $T_1{\mathrm{Lang}}_F=T_{1}F-1$, 由 $T_{1}F$ 幂零知这是同构. 注意域上光滑连通的概形不可约, 故由 $T_1{\mathrm{Lang}}_F$ 是同构容易发现 ${\mathrm{Lang}}_F$ 是支配态射, 像集包含稠密开集.

任取 $a\in G(\mathbb{F})$. 由引理 1.3, ${\iota }_{a^{-1}}\circ F$ 也满足 $F$ 满足的条件, 故由上一段的论证知映射 $g\mapsto a^{-1}F(g)a{g}^{-1}$ 的像集也包含稠密开集, 故而映射 $g\mapsto F(g)a{g}^{-1}$ 亦然. 于是存在 $g,h\in G(\mathbb{F})$ 使得$$F(g)a{g}^{-1}=F(h)h^{-1},$$这样 $a=F(g^{-1}h)(g^{-1}h{)}^{-1}={\mathrm{Lang}}_F(g^{-1}h)$.

$\square$

注 1.5. 由于完美域上既约代数群光滑, 考虑既约化 $G_{\mathrm{red}}$ 即可把定理 1.4 推广到连通而未必光滑的代数群.

注 1.6. 有时需要考虑另一种 Lang 映射 $g\mapsto g^{-1}F(g)$. 显然, 本条目所述 ${\mathrm{Lang}}_F$ 的各种性质对这个映射也成立, 只是有时需要注意左右的区别, 如推论 2.2 中若使用 $g\mapsto g^{-1}F(g)$ 则会得到同构 $G^F\backslash G\to G$.

2推论

以下继承定理 1.4 的记号和条件, 并以 $G^F$ 记 $F$ 在 $G(\mathbb{F})$ 中的不动点构成的子群.

注 2.1. 当 $G$ 是约化群时, 形如 $G^F$ 的群被称为 Lie 型有限群.

推论 2.2. ${\mathrm{Lang}}_F$ 是有限平展态射, 且是 $G^F$-主丛.

证明. 定理 1.4 证明的第一段已经说明 ${\mathrm{Lang}}_F$ 在 $1$ 处平展. 对 $a,g\in G(\mathbb{F})$ 计算$${\mathrm{Lang}}_F(ga)=F(g)F(a)a^{-1}{g}^{-1}=F(g){\mathrm{Lang}}_F(a)g^{-1}$$知:

•	${\mathrm{Lang}}_F$ 在 $g$ 处平展.
•	${\mathrm{Lang}}_F(ga)={\mathrm{Lang}}_F(g)$ 当且仅当 ${\mathrm{Lang}}_F(a)=1$, 即 $a\in G^F$.

由此可见 ${\mathrm{Lang}}_F$ 诱导的态射 $G/G^F\to G$ 为平展万有同胚, 所以是同构, 故 ${\mathrm{Lang}}_F$ 是 $G^F$-主丛, 当然也就有限.

$\square$

推论 2.3. 设 $X$ 是集合, $F$ 是其自同构, $G(\mathbb{F})$ 可迁作用于 $X$ 上, 且 $F$ 保持该群作用, 即对任意 $g\in G(\mathbb{F})$, $x\in X$ 都有 $F(gx)=F(g)F(x)$. 则 $X^F$ 非空.

证明. 任取 $x\in X$. 由可迁性可写 $F(x)=ax$, 其中 $a\in G$. 对 $g\in G$ 计算$$F(gx)=F(g)F(x)=F(g)ax=F(g)a{g}^{-1}gx.$$所以只需找到 $g$ 使得 $F(g)a{g}^{-1}=1$, 也即 $a={\mathrm{Lang}}_F(g^{-1})$. 由定理 1.4, 这样的 $g$ 存在.

$\square$

推论 2.4. 设 $G$ 是仿射代数群. 则存在被 $F$ 保持的极大环面与 Borel 子群 $T\subseteq B\subseteq G$.

证明. 由代数闭域上仿射代数群的理论知这样的 $(T,B)$ 的集合被 $G(\mathbb{F})$ 可迁作用, 故由推论 2.3 立得结论.

$\square$

推论 2.5. 设 $G_0$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上的光滑连通代数群, $X_0\to \mathrm{Spec}({\mathbb{F}}_q)$ 是 $G_0$-主丛, 则 $X_0$ 平凡. 换言之, $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(\mathrm{Spec}({\mathbb{F}}_q),G_0)=0$.

证明. 令 $G$、$X$ 为 $G_0$、$X_0$ 基变换到 $\mathbb{F}$ 上, 令 $F$ 为 $G_0$、$X_0$ 的 $q$ 次方 Frobenius 基变换到 $\mathbb{F}$ 上. 应用推论 2.3 知 $X^F$ 非空, 即 $X_0({\mathbb{F}}_q)$ 非空, 故 $X_0$ 为平凡主丛.

$\square$

3相关概念

•	Artin–Schreier 映射
•	Deligne–Lusztig 理论

术语翻译

Lang 定理 • 英文 Lang’s theorem